베이즈 정리 편집하기 (부분)

== 예제 ==
=== 예제 문제1 ===
* 누군가가 유방조영술을 받았는데 결과가 양성이었다.
* 유방암 환자가 유방조영술이 양성일 확률은 90%이다.
* 유방암이 아니더라도 유방조영술이 양성일 확률은 7%이다.
* 40~50대에 유방암일 확률이 0.8%이다.
* 유방조영술 양성자가 유방암일 경우는?
'''예제 풀이1'''
* 유방암에 걸릴 확률('''사전 확률''') '''P(A)''' = '''0.8%'''
* 검사 결과가 양성일 확률 '''P(B)''' = 0.8%의 90% + 99.2%의 7%
** = 0.008 * 0.9 + 0.992 * 0.07 = 0.0766 = '''7.7%'''
* 유방암일 때 검사결과가 양성일 확률(조건부 확률) '''P(B|A)''' = '''90%'''
* 검사 결과가 양성일 때 유방암에 걸렸을 확률(사후 확률) '''P(A|B)''' = 0.8% * 90% / 7.7%
** = 0.008 * 0.9 / 0.077 = 0.0935 = '''9.4%'''

=== 예제 문제2 ===
* 공정1, 공정2, 공정3에서 생산량의 50%, 30%, 20%를 각각 생산
* 공정1, 공정2, 공정3에서 불량품은 3%, 2%, 1%
* 불량품이 하나 나왔을 때 이 제품이 공정1에서 생산된 제품일 확률
'''예제 풀이2'''
* 불량품임을 감안하지 않고, 제품이 각 공정에서 생산되었을 확률
** 공정1: P(A1) = 0.5
** 공정2: P(A2) = 0.3
** 공정2: P(A2) = 0.2
* 각 공정에서 생산된 제품의 불량 확률
** 공정1: P(B|A1) = 0.03
** 공정2: P(B|A2) = 0.02
** 공정2: P(B|A2) = 0.01
* 불량품이 나올 전체 확률
** P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B|A3)
** = '''0.5 * 0.03''' + 0.3 * 0.02 + 0.2 * 0.01 = '''0.023'''
* 불량품이 A1에서 나왔을 확률
** P(A1|B)
** = P(A1)P(B|A1)/P(B) 
** = 0.5 * 0.03 / 0.023 = '''0.65'''

=== 예제 문제3 ===

* 두 개의 항아리가 있다. 동전 던지기로 항아리 U를 선택한다. (U = I 또는 U = II, 각각 ½ 확률)
** 항아리 I에는 검은 공 2개, 빨간 공 3개가 들어 있다.
** 항아리 II에는 검은 공 3개, 빨간 공 2개가 들어 있다.
* 문제
** 1. 항아리 U에서 무작위로 뽑은 공이 검은색일 확률은?
** 2. 첫 번째로 뽑은 공을 제외한 동일한 항아리 U에서 다시 한 번 공을 뽑는다. 첫 번째 공이 검은색이었을 때, 두 번째 공도 검은색일 확률은?

'''예제 풀이3'''

'''1번 문제'''

* P(U=I) = 1/2, P(U=II) = 1/2
* P(검정│U=I) = 2/5, P(검정│U=II) = 3/5

* 전확률 법칙 적용
** P(검정) = P(U=I)×P(검정│U=I) + P(U=II)×P(검정│U=II)  = 0.5×(2/5) + 0.5×(3/5)  = 0.5×0.4 + 0.5×0.6 = 0.20 + 0.30 '''= 0.50'''

'''2번 문제'''

* 케이스를 두가지로 나눌 수 있다.
** Case 1: P(U=I | 첫번째 공이 검정) = P(U=I) × P(첫 검정│U=I) ÷ P(첫 검정)
*** = (1/2 × 2/5) / (1/2) = '''2/5'''
** Case 2: P(U=II | 첫번째 공이 검정) = (1/2 × 3/5) / (1/2) = '''3/5'''
*** 검정 공의 비율이 다르므로 2/5만 3/5로 바뀐다. 나머지는 Case 1과 같다.
* 각 케이스마다 두번째 공을 검정색으로 또 뽑을 확률은 구한다.
** 첫번째 케이스에서, 두번째 공이 역시 검정일 확률은 검정 공을 하나 뺀 상태에서 검정공이 나올 확률 '''1/4'''이다.
** 두번째 케이스에서, 마찬가지고 검정공을 하나 뺀 상태에서 검정공이 나올 확률 '''2/4'''이다.
* 결국, 2/5 * 1/4 + 3/5 * 2/4 = 2/20 + 6/20 = 8 / 20 = 2/5