특성 방정식 편집하기

'''특성 방정식'''(Characteristic Equation)은 점화식이나 선형 상미분 방정식의 해를 구하기 위해 사용되는 방정식이다.  점화식에서 특성 방정식은 수열의 일반해를 구하는 데 중요한 역할을 한다.
==정의==
특성 방정식은 동차 점화식의 일반해를 찾기 위해 다음과 같이 정의된다.
*점화식:
**a<sub>n</sub> + c<sub>1</sub>a<sub>n-1</sub> + c<sub>2</sub>a<sub>n-2</sub> + ... + c<sub>k</sub>a<sub>n-k</sub> = 0
이에 대응하는 특성 방정식은 다음과 같다.
*특성 방정식:
**r<sup>k</sup> + c<sub>1</sub>r<sup>k-1</sup> + c<sub>2</sub>r<sup>k-2</sup> + ... + c<sub>k</sub> = 0
여기서,
*a<sub>n</sub>은 점화식의 n번째 항
*c<sub>1</sub>, c<sub>2</sub>, ..., c<sub>k</sub>는 상수 계수
*r은 특성 방정식의 해 (근)
==특성 방정식의 근에 따른 해==
특성 방정식의 근을 구한 후, 다음과 같이 해를 결정한다.
*'''서로 다른 실근 r<sub>1</sub>, r<sub>2</sub>, ..., r<sub>k</sub>이 존재할 경우'''
**a<sub>n</sub> = A<sub>1</sub>r<sub>1</sub><sup>n</sup> + A<sub>2</sub>r<sub>2</sub><sup>n</sup> + ... + A<sub>k</sub>r<sub>k</sub><sup>n</sup>
**A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>, ..., A<sub>k</sub>는 초기 조건에 의해 결정됨.

*'''중복된 근 r이 m번 존재할 경우'''
**a<sub>n</sub> = (A<sub>1</sub> + A<sub>2</sub>n + ... + A<sub>m</sub>n<sup>m-1</sup>)r<sup>n</sup>

*'''복소근 α ± βi가 존재할 경우'''
**a<sub>n</sub> = A e<sup>αn</sup> cos(βn) + B e<sup>αn</sup> sin(βn)
==예제==
===1. 피보나치 수열===
피보나치 수열은 다음과 같은 점화식을 만족한다.
*a<sub>n</sub> = a<sub>n-1</sub> + a<sub>n-2</sub>
특성 방정식은 다음과 같다.
*r<sup>2</sup> - r - 1 = 0
이를 풀면, 근은 다음과 같다.
*r = (1 ± sqrt(5)) / 2
따라서, 일반해는 다음과 같다.
*a<sub>n</sub> = A( (1+sqrt(5))/2 )<sup>n</sup> + B( (1-sqrt(5))/2 )<sup>n</sup>
===2. 2차 점화식===
점화식:
*a<sub>n</sub> - 4a<sub>n-1</sub> + 4a<sub>n-2</sub> = 0
특성 방정식:
*r<sup>2</sup> - 4r + 4 = 0
이를 풀면, 중근 r = 2가 나온다.

따라서, 일반해는 다음과 같다.
*a<sub>n</sub> = (A + Bn) 2<sup>n</sup>
==특성 방정식의 응용==
*'''점화식 해법'''
**선형 점화식을 푸는 데 사용됨.

*'''미분 방정식'''
**선형 상미분 방정식의 해를 구하는 데 활용됨.

*'''알고리즘 분석'''
**분할 정복 알고리즘의 시간 복잡도 분석 (예: 마스터 정리).
==같이 보기==
*[[동차 점화식]]
*[[비동차 점화식]]
*[[점화식]]
*[[재귀 함수]]
*[[차분 방정식]]
==참고 문헌==
*Rosen, K. H. (2019). ''Discrete Mathematics and Its Applications''. McGraw-Hill.
[[Category:수학]]