피보나치 수열: 두 판 사이의 차이

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(새 문서: 피보나치 수열(Fibonacci Sequence)은 각 항이 앞 두 항의 합으로 정의되는 수열로, 자연과 수학에서 중요한 역할을 한다. ==정의== 피보나치 수열은 다음과 같이 정의된다. :F(0) = 0, F(1) = 1 :F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n ≥ 2) 즉, 첫 번째와 두 번째 항은 각각 0과 1이며, 이후의 항은 앞의 두 항을 더한 값으로 결정된다. ==예시== 처음 몇 개의 피보나치 수는 다음과 같다. :0, 1, 1, 2, 3, 5,...)
 
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:F(0) = 0, F(1) = 1
:F(0) = 0, F(1) = 1
:F(n) = F(n-1) + F(n-2)  (n ≥ 2)
:F(n) = F(n-1) + F(n-2)  (n ≥ 2)
즉, 첫 번째와 두 번째 항은 각각 0과 1이며, 이후의 항은 앞의 두 항을 더한 값으로 결정된다.
즉, 첫 번째와 두 번째 항은 각각 0과 1이며, 이후의 항은 앞의 두 항을 더한 값으로 결정된다.  
==예시==
==예시==
처음 몇 개의 피보나치 수는 다음과 같다.
처음 몇 개의 피보나치 수는 다음과 같다.
:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
간혹 1로 시작하는 경우도 있다. 교과서나 책에 따라서 다를 수 있다. 1부터 시작하면 1, 1, 2, 3, 5, 8이 된다.
어차피 점화 관계에 따르면 동일한 수이다. 그리고 정말 간혹하다 1, 2, 3, 5, 8로 바로 나가는 경우도 있는데, 이 또한 큰 문제는 없다. 단 가장 일반적인 경우는 0, 1, 1, 2, 3, 5로 가는 수열이다.
==성질==
==성질==
*'''황금 비율과의 관계''' - 피보나치 수열의 연속된 항들의 비율은 황금 비율(약 1.618)로 수렴한다.
*'''황금 비율과의 관계''' - 피보나치 수열의 연속된 항들의 비율은 황금 비율(약 1.618)로 수렴한다.
*'''점화식''' - 피보나치 수열은 F(n) = F(n-1) + F(n-2)라는 점화식을 따른다.
*'''점화식''' - 피보나치 수열은 F(n) = F(n-1) + F(n-2)라는 점화식을 따른다.
*'''Binet의 공식''' - 피보나치 수를 직접 계산하는 공식은 다음과 같다.
*'''Binet의 공식 (비네의 식)''' - 피보나치 수를 직접 계산하는 공식은 다음과 같다.
:F(n) = ( (1 + sqrt(5))^n - (1 - sqrt(5))^n ) / (2^n * sqrt(5))
:F(n) = ( (1 + √5)<sup>n</sup> - (1 - √5)<sup>n</sup> ) / (2<sup>n</sup> * √5)
:= ( (n + √5)<sup>n</sup> - (n - √5)<sup>n</sup> ) / √5
*'''조합적 해석''' - 피보나치 수 F(n)은 1과 2의 블록으로 이루어진 n길이의 계단을 오르는 방법의 수와 같다.
*'''조합적 해석''' - 피보나치 수 F(n)은 1과 2의 블록으로 이루어진 n길이의 계단을 오르는 방법의 수와 같다.
==자연과의 연관성==
==자연과의 연관성==

2025년 3월 22일 (토) 08:04 기준 최신판

피보나치 수열(Fibonacci Sequence)은 각 항이 앞 두 항의 합으로 정의되는 수열로, 자연과 수학에서 중요한 역할을 한다.

정의[편집 | 원본 편집]

피보나치 수열은 다음과 같이 정의된다.

F(0) = 0, F(1) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n ≥ 2)

즉, 첫 번째와 두 번째 항은 각각 0과 1이며, 이후의 항은 앞의 두 항을 더한 값으로 결정된다.

예시[편집 | 원본 편집]

처음 몇 개의 피보나치 수는 다음과 같다.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

간혹 1로 시작하는 경우도 있다. 교과서나 책에 따라서 다를 수 있다. 1부터 시작하면 1, 1, 2, 3, 5, 8이 된다.

어차피 점화 관계에 따르면 동일한 수이다. 그리고 정말 간혹하다 1, 2, 3, 5, 8로 바로 나가는 경우도 있는데, 이 또한 큰 문제는 없다. 단 가장 일반적인 경우는 0, 1, 1, 2, 3, 5로 가는 수열이다.

성질[편집 | 원본 편집]

  • 황금 비율과의 관계 - 피보나치 수열의 연속된 항들의 비율은 황금 비율(약 1.618)로 수렴한다.
  • 점화식 - 피보나치 수열은 F(n) = F(n-1) + F(n-2)라는 점화식을 따른다.
  • Binet의 공식 (비네의 식) - 피보나치 수를 직접 계산하는 공식은 다음과 같다.
F(n) = ( (1 + √5)n - (1 - √5)n ) / (2n * √5)
= ( (n + √5)n - (n - √5)n ) / √5
  • 조합적 해석 - 피보나치 수 F(n)은 1과 2의 블록으로 이루어진 n길이의 계단을 오르는 방법의 수와 같다.

자연과의 연관성[편집 | 원본 편집]

피보나치 수열은 자연에서도 발견된다.

  • 해바라기 씨앗 배열, 솔방울의 나선 구조
  • 달팽이 껍데기, 은하의 나선형 형태
  • 나뭇가지 분기 패턴

예제 코드[편집 | 원본 편집]

피보나치 수열을 구하는 간단한 Python 코드:

def fibonacci(n):
    a, b = 0, 1
    for _ in range(n):
        a, b = b, a + b
    return a

for i in range(10):
    print(fibonacci(i), end=' ')

출력 결과:

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34

활용[편집 | 원본 편집]

  • 컴퓨터 알고리즘 - 동적 계획법(DP)과 분할 정복 기법에서 활용
  • 금융 분석 - 피보나치 되돌림(Fibonacci Retracement) 기법으로 주가 분석
  • 그래픽 및 디자인 - 황금 비율을 활용한 레이아웃 구성

같이 보기[편집 | 원본 편집]

참고 문헌[편집 | 원본 편집]

  • Fibonacci, L. (1202). Liber Abaci.
  • Koshy, T. (2001). Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. Wiley.
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