B 트리

Balanced Tree, B-Tree, B Tree

1 개요

• 자가 균형 트리(Self Balancing Tree)의 일종.

2 구성

• 키(key): 검색을 하기 위한 키
  • 포인터의 개수보다 하나가 더 많음
  • 양쪽에 포인트를 두고 있는 구조 (위 그림 참고)
• 포인터(pointer): 자식 노드의 주소를 가리킴
• 노드: 두 종류로 크게 나뉜다.
  • 내부 노드(internal nodes): 리프 노드를 제외한 노드들은 결국 리프 노드를 검색하기 위한 용도로 쓰인다.
  • 리프 노드(leaf node): 실제 데이터를 담고 있는 노드

3 조건

차수가 m인 B 트리는 아래의 조건을 만족해야 한다.

• 모든 노드는 최대 m개의 자식들을 가진다.
• 루트노드와 리프노드가 아닌 모든 노드는 최소 m/2개의 자식을 가진다.
• 루트노드는 2개 이상의 자식을 가진다.
• k개의 자식을 가진 노드는 k-1개의 키를 가진다.
• 즉, 자식을 가진 노드는 최소 m/2-1개에서 최대 m-1개의 키를 가진다.
• 모든 리프노드들은 같은 높이에 있어야 한다.
• 모든 노드들은 키와 자식노드에 대한 포인터로 이루어져 있다.

4 특징

• 탐색 시간 복잡도 : O(logN)
• 노드의 삽입 또는 삭제 연산 후에도 정렬된 자료구조를 보장한다.

5 비트리의 장단점

장점	단점
노드의 삽입/삭제 후에도 균등한 응답 속도를 보장	삽입/삭제 시 균형 유지를 위해 복잡한 연산 필요

6 B 트리 연산

6.1 1. 삽입 (Insertion)

1. 적절한 리프 노드를 찾아 삽입한다.
2. 노드가 초과(m개의 키)되면 중앙 키를 상위 노드로 올리고, 노드를 분할한다.

6.2 2. 삭제 (Deletion)

1. 삭제 후 노드에 남아 있는 키 개수를 확인한다.
2. 최소 키 개수보다 적으면 형제 노드에서 빌리거나, 병합을 수행한다.

6.3 3. 검색 (Search)

1. 루트에서 시작하여 적절한 자식 노드를 따라가며 키를 찾는다.
2. O(log n)의 시간 복잡도로 검색 가능하다.

7 B 트리 구현 (Python)

class BTreeNode:
    def __init__(self, leaf=False):
        self.leaf = leaf
        self.keys = []
        self.children = []

class BTree:
    def __init__(self, t):
        self.root = BTreeNode(True)
        self.t = t  # 최소 차수

    def search(self, node, key):
        i = 0
        while i < len(node.keys) and key > node.keys[i]:
            i += 1

        if i < len(node.keys) and key == node.keys[i]:
            return node

        if node.leaf:
            return None

        return self.search(node.children[i], key)

    def insert(self, key):
        root = self.root
        if len(root.keys) == (2 * self.t) - 1:
            new_root = BTreeNode(False)
            new_root.children.append(self.root)
            self.split_child(new_root, 0)
            self.root = new_root
            self.insert_non_full(new_root, key)
        else:
            self.insert_non_full(root, key)

    def insert_non_full(self, node, key):
        i = len(node.keys) - 1
        if node.leaf:
            node.keys.append(None)
            while i >= 0 and key < node.keys[i]:
                node.keys[i + 1] = node.keys[i]
                i -= 1
            node.keys[i + 1] = key
        else:
            while i >= 0 and key < node.keys[i]:
                i -= 1
            i += 1
            if len(node.children[i].keys) == (2 * self.t) - 1:
                self.split_child(node, i)
                if key > node.keys[i]:
                    i += 1
            self.insert_non_full(node.children[i], key)

    def split_child(self, node, i):
        t = self.t
        y = node.children[i]
        z = BTreeNode(y.leaf)
        node.keys.insert(i, y.keys[t - 1])
        node.children.insert(i + 1, z)
        z.keys = y.keys[t:(2 * t - 1)]
        y.keys = y.keys[0:(t - 1)]
        if not y.leaf:
            z.children = y.children[t:(2 * t)]
            y.children = y.children[0:t]

    def traverse(self, node):
        for i in range(len(node.keys)):
            if not node.leaf:
                self.traverse(node.children[i])
            print(node.keys[i], end=" ")
        if not node.leaf:
            self.traverse(node.children[len(node.keys)])

# B 트리 테스트
btree = BTree(3)  # 최소 차수 t = 3
for key in [10, 20, 5, 6, 12, 30, 7, 17]:
    btree.insert(key)

print("B 트리 순회 결과:")
btree.traverse(btree.root)
print("\n")

8 같이 보기

• B+ 트리: 순차검색 향상을 위해 Index Set과 Data Set을 구분
• B* 트리: 삽입 시 빈번한 노드 분할에 따른 연산 감소