다항 함수

다항 함수(Polynomial Function)는 유한 개의 항으로 이루어진 함수로, 변수에 대한 거듭제곱과 상수 계수의 조합으로 표현된다. 다항 함수는 미적분학, 대수학, 공학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.

1 정의

다항 함수는 다음과 같은 일반적인 형태를 가진다.

P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0

여기서,

• n : 다항 함수의 차수
• a_n, a_{n-1}, ..., a_0 : 계수
• x : 변수
• a_n ≠ 0 (최고차항의 계수는 0이 아니어야 함)

2 다항 함수의 차수

다항 함수의 차수는 가장 높은 차수를 가지는 항의 지수를 의미한다.

다항 함수의 차수 예시

함수	차수
P(x) = 5x^3 + 2x^2 - x + 7	3차
Q(x) = 4x^5 - 3x^2 + 2	5차
R(x) = 2x + 1	1차 (선형 함수)

3 다항 함수의 종류

다항 함수는 차수에 따라 다음과 같이 분류된다.

• 0차 다항 함수 (상수 함수)
  • 예: P(x) = 5
  • 모든 x에 대해 동일한 값을 가짐.

• 1차 다항 함수 (선형 함수)
  • 예: P(x) = 3x + 2
  • 직선의 방정식을 나타냄.

• 2차 다항 함수 (이차 함수)
  • 예: P(x) = x^2 - 4x + 3
  • 포물선을 나타냄.

• 3차 이상 (고차 다항 함수)
  • 예: P(x) = x^3 - 2x^2 + x - 5
  • 복잡한 곡선 형태를 가짐.

4 다항 함수의 미분과 적분

4.1 미분

다항 함수의 미분은 각 항의 지수를 계수로 곱하고 지수를 1 감소시키는 방식으로 이루어진다.

d/dx P(x) = n a_n x^(n-1) + (n-1) a_{n-1} x^(n-2) + ... + 2 a_2 x + a_1

예제: d/dx (3x^4 - 5x^2 + 2x - 7) = 12x^3 - 10x + 2

4.2 적분

다항 함수의 적분은 각 항의 지수에 1을 더하고 새로운 지수로 나누는 방식으로 계산된다.

∫ P(x) dx = (a_n / (n+1)) x^(n+1) + (a_{n-1} / n) x^n + ... + (a_1 / 2) x^2 + a_0 x + C

예제: ∫ (4x^3 - 6x + 2) dx = x^4 - 3x^2 + 2x + C

5 다항 함수의 그래프

다항 함수의 그래프는 차수에 따라 다양한 곡선을 나타낸다.

다항 함수의 그래프 특징

차수	그래프 형태	예제
1차 (선형)	직선	y = 2x + 1
2차 (이차)	포물선	y = x^2 - 4x + 3
3차 (삼차)	S자 곡선	y = x^3 - 3x
4차 이상	복잡한 곡선	y = x^4 - 4x^2 + x

6 다항 함수의 응용

• 기계 학습
  • 선형 회귀 및 다항 회귀에 활용된다.

• 컴퓨터 그래픽스
  • 곡선 및 곡면 표현에 사용된다.

• 신호 처리
  • 필터 및 변환 과정에서 다항식이 사용된다.

• 경제학 및 금융
  • 추세 분석 및 예측 모델에서 활용된다.

7 같이 보기

• 이차 함수
• 미분
• 적분
• 다항 회귀
• 수학적 모델링

8 참고 문헌

• Stewart, J. (2015). Calculus. Cengage Learning.