메모이제이션

메모이제이션(Memoization)은 중복되는 연산을 피하기 위해 이전에 계산한 값을 저장하고, 필요할 때 이를 다시 사용하는 동적 계획법(Dynamic Programming, DP) 기법 중 하나이다. Top-Down 방식의 동적 계획법에서 주로 사용되며, 재귀 호출을 최적화하는 데 유용하다.

1 개요

메모이제이션은 중복 부분 문제(Overlapping Subproblems)가 존재하는 경우 효과적으로 사용할 수 있다.

• 중복 부분 문제 → 동일한 하위 문제가 여러 번 등장하는 문제.
• 최적 부분 구조 → 부분 문제의 최적해를 결합하여 전체 문제의 최적해를 구할 수 있는 구조.

메모이제이션을 적용하면 중복 계산을 제거하여 시간 복잡도를 줄일 수 있다.

2 동작 방식

메모이제이션은 보통 다음과 같은 방식으로 동작한다.

• 재귀 호출 전에 이미 계산된 값이 있는지 확인.
• 저장된 값이 있다면 해당 값을 반환.
• 저장된 값이 없다면 재귀 호출을 수행하고, 결과를 저장 후 반환.

3 메모이제이션 vs 테뷸레이션

메모이제이션은 Top-Down(재귀 기반) 접근법이고, 테뷸레이션(Tabulation)은 Bottom-Up(반복문 기반) 접근법이다.

기법	구현 방식	장점	단점
메모이제이션	재귀 호출 + 해시 테이블(딕셔너리) 또는 배열	필요한 부분 문제만 계산하여 효율적	재귀 호출 오버헤드가 발생할 수 있음
테뷸레이션	반복문을 사용하여 작은 문제부터 해결	재귀 호출이 없어 오버헤드가 적음	모든 하위 문제를 계산해야 할 수도 있음

4 예제

가장 대표적인 예제는 피보나치 수열(Fibonacci Sequence)이다.

4.1 메모이제이션을 사용하지 않은 재귀

def fibonacci(n):
    if n <= 1:
        return n
    return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)

print(fibonacci(10))  # 출력: 55

• 위 코드의 시간 복잡도는 O(2ⁿ)으로 매우 비효율적이다.

4.2 메모이제이션을 사용한 재귀

def fibonacci_memo(n, memo={}):
    if n in memo:
        return memo[n]
    if n <= 1:
        return n
    memo[n] = fibonacci_memo(n-1, memo) + fibonacci_memo(n-2, memo)
    return memo[n]

print(fibonacci_memo(10))  # 출력: 55

• 위 코드의 시간 복잡도는 O(n)으로 최적화됨.

5 메모이제이션이 적용되는 문제

메모이제이션은 다음과 같은 문제에 효과적이다.

• 피보나치 수열
  • 중복 계산을 방지하여 O(n)으로 최적화.
• 배낭 문제(Knapsack Problem)
  • 각 아이템을 넣거나 넣지 않는 경우를 고려.
• 최장 공통 부분 수열(LCS, Longest Common Subsequence)
  • 문자열 간의 최대 공통 부분 찾기.
• 최소 편집 거리(Edit Distance)
  • 문자열을 변환하는 최소 연산 횟수 계산.

6 시간 복잡도

메모이제이션을 적용하면 재귀 호출의 중복을 제거할 수 있다.

• 피보나치 수열
  • 기본 재귀: O(2ⁿ)
  • 메모이제이션 적용: O(n)
• 배낭 문제
  • 완전 탐색: O(2ⁿ)
  • 메모이제이션 적용: O(nW) (W는 배낭 용량)
• LCS
  • 완전 탐색: O(2ⁿ)
  • 메모이제이션 적용: O(nm) (n과 m은 두 문자열 길이)

7 응용

메모이제이션은 다양한 분야에서 활용된다.

• 컴퓨터 그래픽
  • 반복 연산을 최적화하여 렌더링 속도 향상.
• 네트워크 경로 탐색
  • 최단 경로를 미리 계산하여 빠른 탐색 가능.
• 인공지능 및 머신러닝
  • 학습 과정에서 중복 연산을 제거하여 성능 향상.

8 같이 보기

• 동적 계획법
• 탑다운 방식
• 테뷸레이션
• 배낭 문제
• 빈 패킹 문제
• 삼각 분할

9 참고 문헌

• Bellman, Richard. "Dynamic Programming." Princeton University Press, 1957.
• Cormen, Thomas H., et al. "Introduction to Algorithms." MIT Press, 2009.