선형 방정식

선형 방정식(Linear Equation)은 변수들이 일차적으로 결합된 형태로 이루어진 방정식이다. 선형 방정식은 선형 대수학에서 중요한 개념이며, 수학, 공학, 경제학, 데이터 과학 등 다양한 분야에서 활용된다.

1 정의

선형 방정식은 일반적으로 다음과 같이 표현된다.

• 일변수 선형 방정식
  • ax + b = 0

• 이변수 선형 방정식
  • ax + by = c

• n개의 변수를 포함하는 일반적인 형태
  • a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n = b

여기서,

• x₁, x₂, ..., x_n은 변수
• a₁, a₂, ..., a_n은 계수(coefficient)
• b는 상수(term)

2 선형 방정식의 해법

2.1 일변수 선형 방정식

• 방정식: ax + b = 0
• 해: x = -b/a (단, a ≠ 0)

2.2 이변수 선형 방정식

• 방정식: ax + by = c
• 해: 무수히 많거나 하나의 해를 가짐 (직선의 교점으로 해석 가능)

2.3 연립 선형 방정식

n개의 선형 방정식으로 이루어진 연립 방정식은 행렬을 사용하여 해를 구할 수 있다.

연립 선형 방정식의 행렬 표현

계수 행렬 A	미지수 벡터 x	상수 벡터 b
⎡ a11 a12 ... a1n ⎤	⎡ x1 ⎤	⎡ b1 ⎤
⎢ a21 a22 ... a2n ⎥	⎢ x2 ⎥	⎢ b2 ⎥
⎢ ... ... ... ... ⎥	⎢ ... ⎥	⎢ ... ⎥
⎣ an1 an2 ... ann ⎦	⎣ xn ⎦	⎣ bn ⎦

이를 행렬 방정식으로 표현하면:

• Ax = b

여기서,

• A는 계수 행렬
• x는 미지수 벡터
• b는 상수 벡터

3 연립 선형 방정식의 해법

선형 방정식은 여러 가지 방법으로 해결할 수 있다.

• 가우스 소거법(Gaussian Elimination)
  • 연립 방정식을 행 연산을 통해 삼각 행렬 형태로 변환하여 푸는 방법

• 역행렬(Inverse Matrix)
  • x = A^-1b 형태로 해를 구하는 방법 (A가 가역 행렬일 경우)

• 크래머의 법칙(Cramer's Rule)
  • 행렬식을 이용하여 해를 구하는 방법 (정방 행렬일 경우)

• LU 분해(LU Decomposition)
  • 행렬을 두 개의 삼각 행렬로 분해하여 해를 구하는 방법

4 선형 방정식의 응용

• 공학 및 물리학
  • 역학 시스템, 회로 해석

• 경제학 및 최적화
  • 수요와 공급 분석, 선형 계획법

• 컴퓨터 과학
  • 그래픽스, 머신 러닝에서의 행렬 연산

• 데이터 분석
  • 통계 및 회귀 분석

5 같이 보기

• 행렬
• 연립 방정식
• 선형 대수
• 역행렬
• 가우스 소거법

6 참고 문헌

• Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press.
• Lay, D. C. (2012). Linear Algebra and Its Applications. Pearson.