원주율

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원주율(圓周率, Pi)은 원의 지름에 대한 원둘레의 비율을 나타내는 수학 상수로, 보통 그리스 문자 π로 표기된다.

1 개요[편집 | 원본 편집]

원주율은 기하학에서 원의 기본적인 성질을 나타내는 상수로, 유클리드 기하학에서 원의 둘레를 지름으로 나눈 값이다. 이는 어떤 크기의 원이든 동일하며, 약 3.14159로 시작하는 무리수이자 초월수이다. 원주율은 고대부터 널리 연구되어 왔으며, 다양한 수학적, 과학적 계산에서 필수적인 상수이다.

2 정의[편집 | 원본 편집]

원의 반지름을 r, 지름을 d, 둘레를 C라고 할 때, 다음 관계가 성립한다.

  • d = 2r

원주율 π는 다음과 같이 정의된다.

  • π = C / d
  • π = C / (2r)

또한, 원의 넓이 A는 다음 공식을 따른다.

  • A = πr²

3 수학적 성질[편집 | 원본 편집]

π는 유리수로 표현할 수 없는 무리수이며, 소수점 이하로 끝나지 않고 순환하지 않는다. 또한, π는 어떤 유리수 계수의 다항식의 근이 될 수 없는 초월수이다. 이는 1882년 페르디난트 린데만(Ferdinand von Lindemann)에 의해 증명되었다.

원주율은 다양한 무한급수를 통해 계산될 수 있으며, 대표적인 예는 다음과 같다.

  • 라이프니츠 급수: π / 4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + ...
  • 오일러 급수: π² / 6 = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ...

4 근삿값[편집 | 원본 편집]

원주율은 다음과 같은 근삿값으로 자주 사용된다.

  • 3.14: 가장 단순한 근사값
  • 22/7: 분수 형태의 근사값
  • 3.1415926535...: 소수점 이하로 무한히 이어지는 실제 값의 일부

5 역사[편집 | 원본 편집]

고대 이집트에서는 원주율을 약 3.1605로, 바빌로니아에서는 약 3.125로 근사하였다. 고대 그리스의 아르키메데스는 정다각형을 이용해 원주율을 3.1408 < π < 3.1429로 계산하였다. 이후 중국, 인도, 이슬람권에서도 다양한 계산 방법이 개발되었으며, 유럽에서는 오일러, 가우스, 람베르트 등에 의해 수학적 성질이 체계적으로 정리되었다. 19세기에는 원주율이 초월수임이 증명되었으며, 현대에는 컴퓨터를 통해 수조 자리 이상의 소수 자릿수가 계산되었다.

6 사용[편집 | 원본 편집]

원주율은 수학과 과학 전반에 걸쳐 광범위하게 사용된다.

  • 기하학: 원, 원기둥, 구 등의 도형의 둘레, 넓이, 부피 계산
  • 해석학: 삼각함수, 푸리에 해석 등에서 등장
  • 통계학: 정규분포의 확률 밀도 함수에 포함
  • 물리학 및 공학: 회전운동, 파동, 주기적 현상의 표현

7 같이 보기[편집 | 원본 편집]

8 참고 문헌[편집 | 원본 편집]

  • Beckmann, P. (1971). *A History of Pi*. St. Martin’s Press.
  • Borwein, J., & Bailey, D. (2008). *Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century*. A K Peters.

9 각주[편집 | 원본 편집]