유클리드 거리
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유클리드 거리(Euclidean distance, 歐幾里得距離)는 유클리드 기하학에서 정의되는 두 점 사이의 최단 직선 거리를 의미한다.
1 개요[편집 | 원본 편집]
유클리드 거리는 고대 그리스 수학자 유클리드(Euclid)의 이름을 따서 명명되었다. 이는 가장 직관적인 거리 개념으로, 2차원이나 3차원 공간뿐만 아니라 n차원 공간에서도 일반화할 수 있다. 주로 물리적 공간에서 두 점 사이의 직접적인 거리 측정이나 데이터 분석에서 표본 간 유사성 판단에 널리 사용된다.
2 정의[편집 | 원본 편집]
두 점 (x₁, y₁)과 (x₂, y₂) 사이의 2차원 유클리드 거리는 다음과 같이 계산된다.
- d = √((x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)²)
3차원에서는 다음과 같다.
- d = √((x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)² + (z₁ - z₂)²)
n차원 공간으로 일반화하면, 두 벡터 x = (x₁, x₂, ..., xₙ)과 y = (y₁, y₂, ..., yₙ) 사이의 유클리드 거리는 다음과 같다.
- d = √(Σ (xᵢ - yᵢ)²)
3 특징[편집 | 원본 편집]
- 비음수성: 거리는 항상 0 이상이다.
- 항등성: 두 점이 같을 경우 거리는 0이다.
- 대칭성: 두 점 사이의 거리는 방향에 관계없이 같다.
- 삼각 부등식: 임의의 세 점에 대해, 두 점 사이의 거리는 나머지 두 거리의 합보다 작거나 같다.
- 위 네 가지 성질을 만족하므로 유클리드 거리는 수학적으로 거리 함수(metric)로 인정된다.
4 응용[편집 | 원본 편집]
- 기계 학습에서 k-최근접 이웃 알고리즘(k-NN) 등 거리 기반 분류와 회귀
- 클러스터링 알고리즘(k-평균 등)에서 표본 간 거리 계산
- 컴퓨터 그래픽스 및 게임에서 객체 간 충돌 감지
- 로봇 공학에서 이동 거리 계산
- 통계학에서 다변량 데이터 간 유사성 측정
5 관련 거리 척도[편집 | 원본 편집]
- 맨해튼 거리: 축 방향 이동만 고려하는 거리 척도
- 체비쇼프 거리: 수직, 수평, 대각선 이동 모두 같은 비용으로 취급하는 거리 척도
- 마하라노비스 거리: 분산을 고려하여 표준화한 거리 척도
6 같이 보기[편집 | 원본 편집]
7 참고 문헌[편집 | 원본 편집]
- Richard O. Duda, Peter E. Hart, and David G. Stork, "Pattern Classification," Wiley-Interscience, 2000.
