환 (수학) 편집하기 (부분)

==정의==
집합 R에 대해 다음 조건을 만족하면 (R, +, *)는 환(ring)이라고 한다.
===1. (R, +)는 아벨 군===
*덧셈 + 에 대해 닫힘성, 결합법칙이 성립한다.
*0이라는 항등원이 존재하고, 각 원소 a에 대해 -a라는 역원이 존재한다.
*교환법칙 a + b = b + a 가 성립한다.
===2. 곱셈 *에 대해 다음이 성립===
*곱셈에 대해 닫힘성: a * b ∈ R
*곱셈에 대해 결합법칙: (a * b) * c = a * (b * c)
*분배법칙: a * (b + c) = a * b + a * c,  (a + b) * c = a * c + b * c
※ 곱셈에 대한 항등원(1)이나 역원(a⁻¹)은 환의 정의에 포함되지 않는다. 이 조건이 추가되면 다른 구조(예: 유리수의 체)가 된다.