가우스 소거법 편집하기

가우스 소거법(독일어: Gaußsches Eliminationsverfahren, 영어: Gaussian elimination)은 연립방정식 해법, 행렬의 기저 및 랭크 계산 등에 사용되는 선형대수학의 기초적인 알고리즘으로, 행 연산을 통해 행렬을 계단형으로 바꾸는 절차이다.
==정의==
가우스 소거법은 행렬에 다음과 같은 기본 행 연산을 반복 적용하여 계단형(row echelon form) 또는 기약 계단형(reduced row echelon form, RREF)으로 변환하는 방법이다:
*한 행에 0이 아닌 상수를 곱한다.
*한 행에 다른 행의 배수를 더하거나 뺀다.
*행의 위치를 서로 바꾼다.
이 과정을 통해 연립선형방정식을 간단한 형태로 변환하고, 해의 존재 여부 및 해를 직접 구할 수 있다.
==단계==
*1단계: 맨 왼쪽 열에서 첫 번째 0이 아닌 원소(피벗)를 찾고, 해당 행을 위로 올린다.
*2단계: 피벗 아래의 모든 원소를 0으로 만들기 위해 적절한 행 연산을 수행한다.
*3단계: 다음 열로 이동하여 반복한다.
*4단계: (선택적으로) 각 피벗을 1로 만들고, 피벗 위의 원소도 0으로 만드는 과정을 거치면 기약 계단형이 된다.
==용도==
*연립일차방정식의 해 구하기
*행렬의 랭크 계산
*선형 독립성 판별
*열공간/행공간의 기저 추출
*역행렬 계산 (단, 가역 행렬에 한함)
*벡터 공간의 차원 계산
==예시==
다음은 연립방정식 \[ \begin{cases} x + 2y + z = 6 \\ 2x + 5y + z = 13 \\ 4x + 10y + 3z = 28 \end{cases} \] 을 가우스 소거법으로 푸는 과정이다:
*계수 행렬을 확장 행렬로 나타냄:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & \vert & 6 \\ 2 & 5 & 1 & \vert & 13 \\ 4 & 10 & 3 & \vert & 28 \end{bmatrix} \]
*1행을 기준으로 아래 행들에 적절한 배수를 빼서 첫 번째 열 소거
*다시 2행을 기준으로 3행 소거
*최종적으로 위에서 아래로, 그리고 다시 위로 피벗 정리하여 기약 계단형으로 만들고 해를 추론
==같이 보기==
*[[연립방정식]]
*[[선형 독립]]
*[[행렬의 계단형]]
*[[벡터의 차원]]
*[[행렬의 랭크]]
==각주==
없음
[[분류:수학]]
[[분류:선형 대수]]