공분산 편집하기

공분산(共分散, covariance)은 두 확률 변수 간의 선형 관계를 나타내는 통계량이다. 공분산은 두 변수의 편차 곱의 평균으로 정의되며, 양의 값을 가지면 두 변수는 대체로 같은 방향으로 변화하고, 음의 값을 가지면 반대 방향으로 변화한다.
==정의 ==
두 확률 변수 X와 Y에 대해, 공분산은 다음과 같이 정의된다.
*모집단 공분산: Cov(X, Y) = E[(X - μ<sub>X</sub>)(Y - μ<sub>Y</sub>)]
*표본 공분산: S<sub>XY</sub> = (1 / (n - 1)) ∑<sub>i=1</sub><sup>n</sup> (x<sub>i</sub> - x̄)(y<sub>i</sub> - ȳ)
여기서 E는 기대값, μ<sub>X</sub>와 μ<sub>Y</sub>는 각각 X와 Y의 기대값, x̄와 ȳ는 표본 평균이다.
==성질==*Cov(X, Y) > 0: X와 Y가 정적인 상관 관계를 가진다.
* Cov(X, Y) < 0: X와 Y가 부적인 상관 관계를 가진다.
*Cov(X, Y) = 0: X와 Y 사이에 선형 상관 관계가 없다. 그러나 이는 독립성을 의미하지는 않는다.
*Cov(X, X) = Var(X): 자기 자신과의 공분산은 분산과 같다.
* 상수 a, b에 대해 Cov(aX + b, Y) = a × Cov(X, Y)이다.
==계산 예시==
다음은 두 변수 X와 Y의 표본 공분산을 구하는 실제 예시이다.

표본 데이터:
*X = [2, 4, 6, 8]
*Y = [1, 3, 5, 7]
1. 평균 계산:
* x̄ = (2 + 4 + 6 + 8) / 4 = 5
*ȳ = (1 + 3 + 5 + 7) / 4 = 4
2. 편차 곱 계산:
*(2−5)(1−4) = (−3)(−3) = 9
*(4−5)(3−4) = (−1)(−1) = 1
*(6−5)(5−4) = (1)(1) = 1
*(8−5)(7−4) = (3)(3) = 9
3. 편차 곱의 합: 9 + 1 + 1 + 9 = 20

4. 표본 공분산:
*S<sub>XY</sub> = 20 / (4−1) = 20 / 3 ≈ 6.67
따라서, 이 데이터의 공분산은 약 6.67이다.
==공분산과 상관 계수==
공분산은 단위에 따라 값의 크기가 달라지므로 비교가 어렵다. 이를 보완하기 위해 두 변수의 표준편차로 나누어 정규화한 값이 상관 계수(correlation coefficient)이다.
*Corr(X, Y) = Cov(X, Y) / (σ<sub>X</sub> × σ<sub>Y</sub>)
==공분산 행렬==
다변량 데이터에서는 여러 변수 간의 공분산을 행렬로 표현할 수 있다. 이를 공분산 행렬(covariance matrix)이라고 하며, 대칭 행렬의 성질을 가진다.

예시:
*변수 X, Y, Z에 대한 공분산 행렬은 다음과 같다.
<pre>
  | Var(X)   Cov(X,Y) Cov(X,Z) |
  | Cov(Y,X) Var(Y)   Cov(Y,Z) |
  | Cov(Z,X) Cov(Z,Y) Var(Z)   |
  </pre>
==활용==
*통계학과 데이터 과학에서 변수 간의 관계 파악
*주성분 분석(PCA)에서 데이터 분산 방향 파악
*금융 분야에서 포트폴리오 이론 및 리스크 분석
==같이 보기==
*[[상관 계수]]
*[[분산]]
*[[주성분 분석]]
*[[확률 변수]]
*[[통계학]]
==참고 문헌==
*Casella, G., & Berger, R. L. (2002). ''Statistical Inference'' (2nd ed.). Duxbury.
*Wasserman, L. (2004). ''All of Statistics: A Concise Course in Statistical Inference''. Springer.
==각주==
[[분류:수학]]
[[분류:통계학]]