군 (수학) 편집하기

'''군'''(群, group)은 하나의 이항 연산이 정의된 집합으로, 그 연산이 일정한 성질을 만족하는 대수 구조이다. 수학의 여러 분야에서 널리 사용되며, 추상대수학의 가장 기본적인 구조이다.
==정의==
집합 G와 이항 연산 * 가 다음 네 가지 조건을 만족하면, (G, *)를 '''군(group)'''이라고 한다.
===1. 닫힘성===
*모든 a, b ∈ G에 대해 a * b ∈ G
===2. 결합법칙===
*(a * b) * c = a * (b * c) for all a, b, c ∈ G
===3. 항등원 존재===
*G에 어떤 원소 e가 존재하여, 모든 a ∈ G에 대해 e * a = a * e = a
===4. 역원 존재===
*모든 a ∈ G에 대해 a의 역원 a⁻¹ ∈ G가 존재하여, a * a⁻¹ = a⁻¹ * a = e
※ 위 네 조건을 모두 만족하면 군이다.  ※ 만약 a * b = b * a가 모든 a, b ∈ G에 대해 성립하면, '''가환군(Abelian group)'''이라 한다.
==예시==
*정수의 집합 Z, 연산은 덧셈 (+)
**항등원: 0, 역원: -a, 가환군

*정수 Z에서 0 제외하고 곱셈 연산: 군 아님 (역원 존재하지 않음)

*실수 집합 R \ {0}, 연산은 곱셈 (*)
**항등원: 1, 역원: 1/a, 가환군

*2×2 가역행렬의 집합 (GL(2, R)), 연산은 행렬 곱셈
**비가환군 (곱셈이 교환법칙을 만족하지 않음)
==군의 종류==
*'''가환군''' (Abelian group): 교환법칙 a * b = b * a가 성립
*'''유한군''' (finite group): 원소 수가 유한한 군
*'''순환군''' (cyclic group): 어떤 원소의 거듭제곱으로 모든 원소를 생성할 수 있는 군
*'''대칭군''' (symmetric group): n개의 원소에 대한 모든 순열로 구성된 군
*'''행렬군''' (matrix group): 행렬을 원소로 갖고, 행렬 곱셈으로 연산하는 군
==군의 활용==
*정수론, 수론
*기하학과 대칭성 표현
*암호학 및 정보 보안 (예: 타원 곡선 암호)
*양자역학, 물리학의 대칭 이론
*화학의 분자 대칭 분석
==같이 보기==
*[[가환군]]
*[[순환군]]
*[[환 (수학)]]
*[[체 (수학)]]
*[[군론]]
*[[동형사상]]
==참고 문헌==
*Dummit, D. S., & Foote, R. M. (2004). ''Abstract Algebra''. Wiley.
*Rotman, J. J. (1995). ''An Introduction to the Theory of Groups''. Springer.
[[분류:수학]]