다항 함수 편집하기

'''다항 함수'''(Polynomial Function)는 유한 개의 항으로 이루어진 함수로, 변수에 대한 거듭제곱과 상수 계수의 조합으로 표현된다.  다항 함수는 미적분학, 대수학, 공학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.
==정의==
다항 함수는 다음과 같은 일반적인 형태를 가진다.

P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0

여기서,
*n : 다항 함수의 차수
*a_n, a_{n-1}, ..., a_0 : 계수
*x : 변수
*a_n ≠ 0 (최고차항의 계수는 0이 아니어야 함)
==다항 함수의 차수==
다항 함수의 차수는 가장 높은 차수를 가지는 항의 지수를 의미한다.
{| class="wikitable"
|+다항 함수의 차수 예시
!함수!!차수
|-
|P(x) = 5x^3 + 2x^2 - x + 7||3차
|-
|Q(x) = 4x^5 - 3x^2 + 2||5차
|-
|R(x) = 2x + 1||1차 (선형 함수)
|}
==다항 함수의 종류==
다항 함수는 차수에 따라 다음과 같이 분류된다.
*'''0차 다항 함수 (상수 함수)'''
**예: P(x) = 5
**모든 x에 대해 동일한 값을 가짐.

*'''1차 다항 함수 (선형 함수)'''
**예: P(x) = 3x + 2
**직선의 방정식을 나타냄.

*'''2차 다항 함수 (이차 함수)'''
**예: P(x) = x^2 - 4x + 3
**포물선을 나타냄.

*'''3차 이상 (고차 다항 함수)'''
**예: P(x) = x^3 - 2x^2 + x - 5
**복잡한 곡선 형태를 가짐.
==다항 함수의 미분과 적분==
===미분===
다항 함수의 미분은 각 항의 지수를 계수로 곱하고 지수를 1 감소시키는 방식으로 이루어진다.

d/dx P(x) = n a_n x^(n-1) + (n-1) a_{n-1} x^(n-2) + ... + 2 a_2 x + a_1

예제:  d/dx (3x^4 - 5x^2 + 2x - 7) = 12x^3 - 10x + 2
===적분===
다항 함수의 적분은 각 항의 지수에 1을 더하고 새로운 지수로 나누는 방식으로 계산된다.

∫ P(x) dx = (a_n / (n+1)) x^(n+1) + (a_{n-1} / n) x^n + ... + (a_1 / 2) x^2 + a_0 x + C

예제:  ∫ (4x^3 - 6x + 2) dx = x^4 - 3x^2 + 2x + C
==다항 함수의 그래프==
다항 함수의 그래프는 차수에 따라 다양한 곡선을 나타낸다.
{| class="wikitable"
|+다항 함수의 그래프 특징
!차수!!그래프 형태!!예제
|-
|1차 (선형)||직선||y = 2x + 1
|-
|2차 (이차)||포물선||y = x^2 - 4x + 3
|-
|3차 (삼차)||S자 곡선||y = x^3 - 3x
|-
|4차 이상||복잡한 곡선||y = x^4 - 4x^2 + x
|}
==다항 함수의 응용==
*'''기계 학습'''
**선형 회귀 및 다항 회귀에 활용된다.

*'''컴퓨터 그래픽스'''
**곡선 및 곡면 표현에 사용된다.

*'''신호 처리'''
**필터 및 변환 과정에서 다항식이 사용된다.

*'''경제학 및 금융'''
**추세 분석 및 예측 모델에서 활용된다.
==같이 보기==
*[[이차 함수]]
*[[미분]]
*[[적분]]
*[[다항 회귀]]
*[[수학적 모델링]]
==참고 문헌==
*Stewart, J. (2015). ''Calculus''. Cengage Learning.