동적 계획법 편집하기

'''동적 계획법'''(Dynamic Programming, DP)은 복잡한 문제를 작은 하위 문제(subproblem)로 나누어 해결하고, 그 결과를 저장하여 중복 계산을 피하는 최적화 기법이다. '''메모이제이션(Memoization)''' 또는 '''상향식 접근법(Bottom-up)'''을 사용하여 연산 속도를 향상시킬 수 있다.
==개요==
동적 계획법은 다음 두 가지 속성을 가진 문제를 해결하는 데 적합하다.
*'''최적 부분 구조(Optimal Substructure)'''
**문제를 작은 하위 문제로 나누어 해결할 수 있으며, 부분 문제의 최적해를 결합하여 전체 문제의 최적해를 구할 수 있음.
*'''중복 부분 문제(Overlapping Subproblems)'''
**동일한 하위 문제가 여러 번 반복해서 등장하며, 이를 저장하여 재사용할 수 있음.
==동적 계획법의 유형==
동적 계획법은 '''메모이제이션(Top-Down)'''과 '''상향식 접근법(Bottom-Up)''' 두 가지 방식으로 구현할 수 있다.
===메모이제이션(Top-Down)===
*'''재귀 호출'''을 이용하여 필요한 부분 문제만 계산.
*중복 계산을 방지하기 위해 '''해시 테이블'''이나 '''배열'''을 사용하여 결과를 저장.
===상향식 접근법(Bottom-Up)===
*작은 문제부터 해결하고, 그 결과를 이용해 더 큰 문제를 해결.
*반복문을 사용하며, '''테이블(Table)'''을 통해 값을 저장.
==예제 문제==
가장 대표적인 동적 계획법 문제 중 하나는 '''피보나치 수열(Fibonacci Sequence)'''이다.
===재귀(Top-Down) 방식===
<syntaxhighlight lang="python">
def fibonacci_memo(n, memo={}):
    if n in memo:
        return memo[n]
    if n <= 1:
        return n
    memo[n] = fibonacci_memo(n-1, memo) + fibonacci_memo(n-2, memo)
    return memo[n]

print(fibonacci_memo(10))  # 출력: 55
</syntaxhighlight>
===반복(Bottom-Up) 방식===
<syntaxhighlight lang="python">
def fibonacci_tabulation(n):
    if n <= 1:
        return n
    dp = [0] * (n + 1)
    dp[1] = 1
    for i in range(2, n + 1):
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    return dp[n]

print(fibonacci_tabulation(10))  # 출력: 55
</syntaxhighlight>
==동적 계획법이 적용되는 문제==
동적 계획법은 다양한 최적화 문제에 사용된다.
*'''배낭 문제(Knapsack Problem)'''
**제한된 용량 내에서 최대 가치를 얻도록 아이템을 선택하는 문제.
*'''최장 공통 부분 수열(LCS, Longest Common Subsequence)'''
**두 개의 문자열에서 공통 부분 문자열의 최대 길이를 찾는 문제.
*'''최소 편집 거리(Edit Distance)'''
**문자열을 변환하는 최소 연산 횟수를 구하는 문제.
*'''동전 교환 문제(Coin Change)'''
**최소한의 동전 개수로 특정 금액을 만드는 문제.
*'''여행하는 외판원 문제(TSP, Traveling Salesman Problem)'''
**모든 도시를 한 번씩 방문하는 최소 비용의 경로를 찾는 문제.
==시간 복잡도==
동적 계획법을 사용하면 여러 문제를 효율적으로 해결할 수 있다.
*'''피보나치 수열'''
**일반 재귀: O(2ⁿ)
**동적 계획법: O(n)
*'''배낭 문제'''
**일반적인 완전 탐색: O(2ⁿ)
**동적 계획법: O(nW) (W는 배낭 용량)
*'''LCS'''
**완전 탐색: O(2ⁿ)
**동적 계획법: O(nm) (n과 m은 두 문자열 길이)
==응용==
동적 계획법은 다양한 분야에서 활용된다.
*'''데이터 압축'''
**문자열 비교 및 패턴 매칭.
*'''네트워크 최적화'''
**최적 경로 탐색 및 패킷 전송 최적화.
*'''게임 인공지능'''
**최적의 움직임을 찾는 알고리즘.
==같이 보기==
*[[그리디 알고리즘]]
*[[분할 정복]]
*[[배낭 문제]]
*[[여행하는 외판원 문제]]
==참고 문헌==
*Bellman, Richard. "Dynamic Programming." Princeton University Press, 1957.
*Cormen, Thomas H., et al. "Introduction to Algorithms." MIT Press, 2009.
[[분류:알고리즘]]