선형 대수 편집하기

'''선형 대수'''(Linear Algebra)는 벡터, 행렬, 선형 변환 등을 연구하는 수학의 한 분야이다.  선형 대수는 공학, 물리학, 컴퓨터 과학, 경제학 등 다양한 분야에서 활용된다.
==개요==
선형 대수는 '''벡터 공간(Vector Space)'''과 '''선형 변환(Linear Transformation)'''을 중심으로 연구되며,  다음과 같은 주요 개념을 포함한다.
*'''벡터(Vector)''' – 크기와 방향을 가지는 수학적 객체.
*'''행렬(Matrix)''' – 선형 변환을 표현하는 배열.
*'''선형 변환(Linear Transformation)''' – 벡터 공간의 구조를 보존하는 함수.
*'''선형 결합(Linear Combination)''' – 벡터들의 가중합.
*'''기저(Basis)''' – 벡터 공간을 생성하는 선형 독립인 벡터 집합.
*'''행렬식(Determinant)''' – 정사각 행렬의 특징을 나타내는 값.
*'''고유값과 고유벡터(Eigenvalues and Eigenvectors)''' – 선형 변환의 주요 특성을 나타내는 개념.
==벡터와 벡터 공간==
'''벡터 공간'''(Vector Space)은 벡터들의 집합으로, 다음 두 연산이 정의된다.
*'''벡터 덧셈''' – 두 벡터를 더하여 새로운 벡터를 생성.
*'''스칼라 곱셈''' – 벡터에 스칼라(실수 또는 복소수)를 곱하는 연산.
벡터 공간은 특정한 '''기저(Basis)'''에 의해 표현되며, 벡터의 차원은 기저 벡터의 개수와 같다.
==행렬과 행렬 연산==
'''행렬'''(Matrix)은 수를 직사각형 배열로 정리한 것으로, 선형 변환을 표현하는 데 사용된다.
*'''행렬 덧셈''' – 같은 크기의 행렬끼리 원소별 덧셈.
*'''행렬 곱셈''' – 두 행렬을 곱하여 새로운 행렬을 생성.
*'''전치 행렬(Transpose)''' – 행과 열을 바꾼 행렬.
*'''역행렬(Inverse)''' – A의 역행렬 A<sup>-1</sup>은 A A<sup>-1</sup> = I를 만족.
==선형 변환==
선형 변환(Linear Transformation)은 벡터 공간 간의 함수로, 다음 두 조건을 만족한다.
*T(a + b) = T(a) + T(b) (가법성)
*T(ca) = cT(a) (동일한 스칼라 곱셈 유지)
선형 변환은 행렬로 표현되며, 고유값과 고유벡터를 이용하여 분석할 수 있다.
==선형 대수의 응용==
선형 대수는 다양한 분야에서 활용된다.
*'''컴퓨터 그래픽스''' – 3D 변환, 회전, 스케일링.
*'''데이터 과학 및 머신 러닝''' – 차원 축소(PCA), 회귀 분석.
*'''물리학 및 공학''' – 양자역학, 구조해석.
*'''경제학 및 최적화''' – 게임 이론, 선형 계획법.
==같이 보기==
*[[행렬]]
*[[벡터 공간]]
*[[선형 변환]]
*[[고유값과 고유벡터]]
*[[선형 시스템]]
==참고 문헌==
*Strang, G. (2016). ''Introduction to Linear Algebra''. Wellesley-Cambridge Press.
*Axler, S. (2015). ''Linear Algebra Done Right''. Springer.
[[분류:선형 대수]]
[[분류:수학]]