선형 방정식 편집하기

'''선형 방정식'''(Linear Equation)은 변수들이 일차적으로 결합된 형태로 이루어진 방정식이다.  선형 방정식은 선형 대수학에서 중요한 개념이며, 수학, 공학, 경제학, 데이터 과학 등 다양한 분야에서 활용된다.
==정의==
선형 방정식은 일반적으로 다음과 같이 표현된다.
*'''일변수 선형 방정식'''
**ax + b = 0

*'''이변수 선형 방정식'''
**ax + by = c

*'''n개의 변수를 포함하는 일반적인 형태'''
**a<sub>1</sub>x<sub>1</sub> + a<sub>2</sub>x<sub>2</sub> + ... + a<sub>n</sub>x<sub>n</sub> = b
여기서,
*x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ..., x<sub>n</sub>은 변수
*a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, ..., a<sub>n</sub>은 계수(coefficient)
*b는 상수(term)
==선형 방정식의 해법==
===일변수 선형 방정식===
*방정식: ax + b = 0
*해: x = -b/a (단, a ≠ 0)
===이변수 선형 방정식===
*방정식: ax + by = c
*해: 무수히 많거나 하나의 해를 가짐 (직선의 교점으로 해석 가능)
===연립 선형 방정식===
n개의 선형 방정식으로 이루어진 연립 방정식은 행렬을 사용하여 해를 구할 수 있다.

'''연립 선형 방정식의 행렬 표현'''
{| class="wikitable"
|-
!계수 행렬 A!!미지수 벡터 x!!상수 벡터 b
|-
|⎡ a<sub>11</sub>  a<sub>12</sub>  ...  a<sub>1n</sub> ⎤||⎡ x<sub>1</sub> ⎤||⎡ b<sub>1</sub> ⎤
|-
|⎢ a<sub>21</sub>  a<sub>22</sub>  ...  a<sub>2n</sub> ⎥||⎢ x<sub>2</sub> ⎥||⎢ b<sub>2</sub> ⎥
|-
|⎢  ...      ...     ...   ... ⎥||⎢ ... ⎥||⎢ ... ⎥
|-
|⎣ a<sub>n1</sub>  a<sub>n2</sub>  ...  a<sub>nn</sub> ⎦||⎣ x<sub>n</sub> ⎦||⎣ b<sub>n</sub> ⎦
|}이를 행렬 방정식으로 표현하면:
*Ax = b
여기서,
*A는 계수 행렬
*x는 미지수 벡터
*b는 상수 벡터
==연립 선형 방정식의 해법==
선형 방정식은 여러 가지 방법으로 해결할 수 있다.
*'''가우스 소거법(Gaussian Elimination)'''
**연립 방정식을 행 연산을 통해 삼각 행렬 형태로 변환하여 푸는 방법

*'''역행렬(Inverse Matrix)'''
**x = A<sup>-1</sup>b 형태로 해를 구하는 방법 (A가 가역 행렬일 경우)

*'''크래머의 법칙(Cramer's Rule)'''
**행렬식을 이용하여 해를 구하는 방법 (정방 행렬일 경우)

*'''LU 분해(LU Decomposition)'''
**행렬을 두 개의 삼각 행렬로 분해하여 해를 구하는 방법
==선형 방정식의 응용==
*'''공학 및 물리학'''
**역학 시스템, 회로 해석

*'''경제학 및 최적화'''
**수요와 공급 분석, 선형 계획법

*'''컴퓨터 과학'''
**그래픽스, 머신 러닝에서의 행렬 연산

*'''데이터 분석'''
**통계 및 회귀 분석
==같이 보기==
*[[행렬]]
*[[연립 방정식]]
*[[선형 대수]]
*[[역행렬]]
*[[가우스 소거법]]
==참고 문헌==
*Strang, G. (2016). ''Introduction to Linear Algebra''. Wellesley-Cambridge Press.
*Lay, D. C. (2012). ''Linear Algebra and Its Applications''. Pearson.
[[분류:선형 대수]]
[[분류:수학]]