순환 구조 (수학) 편집하기

순환 구조(cyclic structure, 巡環構造)는 하나의 원소를 반복적인 연산을 통해 생성함으로써 전체 구조가 생성되는 대수적 구조(algebraic structure)를 의미한다.
==정의==
군 이론(group theory)에서, 군(group) G의 원소 g가 존재하여 G의 모든 원소가 g의 거듭제곱 혹은 반복 연산으로 표현될 수 있다면, G는 순환군(cyclic group)이라 불리며, 이러한 구조를 순환 구조라고 한다. 이때 g를 G의 생성원(generator)이라 한다.
*G = {gⁿ | n ∈ 정수}이면 G는 g에 의해 생성되는 순환군이다.
*유한 순환군(finite cyclic group)의 경우, 생성원 g에 대해 g^k = e가 되는 최소의 양의 정수 k를 g의 순서(order)라고 하며, 이는 군의 크기와 일치한다.
==예시==
*정수의 덧셈군 (Z, +): 1을 생성원으로 하는 무한 순환군(infinite cyclic group)이다. 즉, Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}는 1의 정수배로 표현된다.
*유한군 Zₙ(modulo n additive group): 모듈로(modulo) n에 대한 정수들의 덧셈군 Zₙ = {0, 1, ..., n-1}은 1을 생성원으로 하는 유한 순환군이다.
*복소수 집합 {1, i, -1, -i}: 복소수 단위원 i는 네 번째 거듭제곱에서 항등원 1이 되므로, 이 집합은 i에 의해 생성되는 순환군이다.
==성질==
*모든 순환군은 아벨군(abelian group, 교환군)이다.
*유한 순환군의 모든 생성원은 군의 크기와 서로소인 정수의 지수로 표현된 원소이다.
*순환군은 군의 구조를 이해하는 데 중요한 예시로 작용하며, 다른 복잡한 구조의 비교 및 분류에도 활용된다.
==순환 구조의 확장==
순환 구조의 개념은 군을 넘어 환(ring), 체(field), 모듈(module) 등 다양한 대수 구조에서도 등장한다. 예를 들어:
*순환 모듈(cyclic module): 하나의 원소로부터 생성되는 모듈
*순환 부분군(cyclic subgroup): 어떤 원소의 거듭제곱들로 이루어진 부분군
*순환 그래프(cyclic graph): 각 꼭짓점(vertex)이 순서대로 연결되어 하나의 닫힌 경로(closed path)를 이루는 그래프 구조
==같이 보기==
*[[군 (대수학)]]
*[[순환군]]
*[[아벨군]]
*[[생성원]]
*[[모듈 (대수학)]]
==참고 문헌==
*Dummit, D.S. & Foote, R.M. (2004). *Abstract Algebra*. Wiley.
*Rotman, J.J. (1995). *An Introduction to the Theory of Groups*. Springer.
==각주==
[[분류:수학]]