유한체 (수학) 편집하기

'''유한체'''(有限體, finite field)는 원소의 개수가 유한한 체(field)이다. 모든 체 중에서 유한한 크기를 가진 특별한 경우로, ''갈루아 체''(Galois Field)라고도 불리며, GF(q)로 표기된다. 여기서 q는 체의 원소 개수를 나타낸다.
==정의==
유한체는 다음 조건을 만족하는 대수 구조이다.
*유한한 개수의 원소를 가진다. (즉, 집합의 크기가 유한하다.)
*체의 정의를 만족한다:
**덧셈에 대해 아벨 군을 이룸
**0을 제외한 원소 집합은 곱셈에 대해 아벨 군을 이룸
**분배법칙이 성립함: a * (b + c) = a * b + a * c
==특징==
*유한체 GF(q)는 반드시 q = p^n 꼴이며, 여기서
**p는 소수(prime)
**n은 양의 정수
*GF(p)는 정수 집합 Z를 p로 나눈 나머지로 구성된 체이며, 덧셈과 곱셈은 mod p 연산으로 정의된다.
*GF(p^n)은 n차 다항식의 몫환 구조를 사용하여 구성된다.
==예시==
*GF(2): 원소 {0, 1}, 덧셈과 곱셈은 mod 2
*GF(3): 원소 {0, 1, 2}, 덧셈과 곱셈은 mod 3
*GF(4): 원소 4개, GF(2)[x]에서 x^2 + x + 1 같은 기약 다항식을 사용해 구성
*GF(8): GF(2^3), 원소는 다항식의 동치류로 표현됨
==덧셈표와 곱셈표 (GF(2) 기준)==
{| class="wikitable"
!+||0||1
|-
!0||0||1
|-
!1||1||0
|}
{| class="wikitable"
!*||0||1
|-
!0||0||0
|-
!1||0||1
|}
==활용==
*오류 정정 코드 (Reed-Solomon, BCH, Hamming 등)
*암호학 (AES, ECC 등)
*선형대수학 및 다항식 연산
*컴퓨터 과학의 해싱, 비트 연산 기반 알고리즘
==같이 보기==
*[[체 (수학)]]
*[[환 (수학)]]
*[[갈루아 이론]]
*[[다항식]]
*[[모듈로 연산]]
*[[암호학]]
==참고 문헌==
*Lidl, R., & Niederreiter, H. (1997). ''Finite Fields''. Cambridge University Press.
*Dummit, D. S., & Foote, R. M. (2004). ''Abstract Algebra''. Wiley.
[[분류:수학]]