이항 정리 편집하기

이항 정리(Binomial Theorem)는 두 항으로 이루어진 다항식 (a + b)<sup>n</sup>을 전개하는 방법을 설명하는 정리이다. 이는 조합론과 깊은 관련이 있으며, 조합 수를 활용하여 각 항의 계수를 계산할 수 있다.
==개요==
이항 정리는 다항식의 거듭제곱을 전개할 때 사용되며, 확률론, 조합론, 수리 통계학 등 여러 분야에서 활용된다.

이항 정리는 다음과 같은 일반적인 형태를 가진다.
*(a + b)<sup>n</sup> = Σ C(n, r) a<sup>n-r</sup> b<sup>r</sup>  (0 ≤ r ≤ n)
여기서,
*C(n, r) = nCr = n! / (r!(n - r)!) (이항 계수, 조합 수)
*a와 b는 항의 변수
*n은 지수(거듭제곱)
*r은 선택된 항의 지수
이 공식은 (a + b)를 n번 곱할 때 각 항이 어떻게 구성되는지를 보여준다.
==이항 정리의 예제==
===간단한 전개 예제===
1. (a + b)<sup>2</sup> 전개:
 (a + b)<sup>2</sup> = C(2,0) a<sup>2</sup> b<sup>0</sup> + C(2,1) a<sup>1</sup> b<sup>1</sup> + C(2,2) a<sup>0</sup> b<sup>2</sup>
  = 1a<sup>2</sup> + 2ab + 1b<sup>2</sup>
  = a<sup>2</sup> + 2ab + b<sup>2</sup>
2. (a + b)<sup>3</sup> 전개:
 (a + b)<sup>3</sup> = C(3,0) a<sup>3</sup> b<sup>0</sup> + C(3,1) a<sup>2</sup> b<sup>1</sup> + C(3,2) a<sup>1</sup> b<sup>2</sup> + C(3,3) a<sup>0</sup> b<sup>3</sup>
  = 1a<sup>3</sup> + 3a<sup>2</sup>b + 3ab<sup>2</sup> + 1b<sup>3</sup>
  = a<sup>3</sup> + 3a<sup>2</sup>b + 3ab<sup>2</sup> + b<sup>3</sup>
3. (x + y)<sup>4</sup> 전개:
 (x + y)<sup>4</sup> = x<sup>4</sup> + 4x<sup>3</sup>y + 6x<sup>2</sup>y<sup>2</sup> + 4xy<sup>3</sup> + y<sup>4</sup>
==이항 계수와 파스칼의 삼각형==
이항 계수 C(n, r)은 '''파스칼의 삼각형(Pascal’s Triangle)'''과 직접적으로 연관된다.  파스칼의 삼각형에서 각 행의 값은 이항 계수를 나타낸다.
{| class="wikitable"
|+파스칼의 삼각형에서 이항 계수
|-
!n!!r=0!!r=1!!r=2!!r=3!!r=4!!r=5
|-
|0||1|| || || || ||
|-
|1||1||1|| || || ||
|-
|2||1||2||1|| || ||
|-
|3||1||3||3||1|| ||
|-
|4||1||4||6||4||1||
|-
|5||1||5||10||10||5||1
|}이항 정리에서 계수는 위의 삼각형에서 해당하는 값을 따른다. 예를 들어, (a + b)<sup>5</sup>를 전개하면 계수는 1, 5, 10, 10, 5, 1이 된다.
==이항 정리의 확장==
이항 정리는 확률과 통계, 알고리즘 분석 등 다양한 수학적 응용에서 사용되며, 다음과 같이 확장될 수 있다.
===다항 정리 (Multinomial Theorem)===
이항 정리를 여러 개의 항에 적용하면 다항 정리(Multinomial Theorem)로 확장된다.
*(x₁ + x₂ + ... + xₘ)<sup>n</sup> = Σ C(n; k₁, k₂, ..., kₘ) x₁<sup>k₁</sup> x₂<sup>k₂</sup> ... xₘ<sup>kₘ</sup>
*여기서 k₁ + k₂ + ... + kₘ = n
===음이항 정리 (Negative Binomial Theorem)===
이항 정리는 정수 지수뿐만 아니라 실수 지수로도 확장할 수 있으며, 이는 무한급수로 표현된다.
*(1 + x)<sup>k</sup> = Σ C(k, r) x<sup>r</sup>  (r ≥ 0, |x| < 1)
==이항 정리의 응용==
이항 정리는 다양한 분야에서 활용된다.
*'''확률과 통계''' - 이항 분포(Binomial Distribution)와 확률 계산
*'''알고리즘 분석''' - 조합 계산 및 재귀적 문제 해결
*'''이산 수학''' - 수열과 다항 전개 문제 해결
*'''물리학''' - 양자역학과 파동 방정식에서의 다항식 전개
==같이 보기==
*[[조합 (수학)]]
*[[순열 (수학)]]
*[[파스칼의 삼각형]]
*[[이항 계수]]
[[분류:수학]]