전미분 편집하기

전미분(全微分, 영어: total derivative)은 다변수 함수의 모든 변수에 대한 미소 변화를 고려하여 함수 전체의 변화율을 나타내는 개념이다. [[편미분]]이 한 변수만 변화시켜 계산하는 미분이라면, 전미분은 모든 독립 변수들의 변화를 동시에 반영한다.
==개요==
전미분은 다변수 함수 f(x₁, x₂, …, xₙ)의 입력값이 작은 변화(Δx₁, Δx₂, …, Δxₙ)를 가질 때, 함수 f의 출력값이 어떻게 변하는지를 근사적으로 나타낸다. 이는 편미분을 이용해 정의된다.
==정의==
함수 f(x, y)가 x와 y에 대해 미분 가능할 때, 전미분 df는 다음과 같이 정의된다.
:df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy
보다 일반적으로, f(x₁, x₂, …, xₙ)에 대해
:df = Σ (∂f/∂xᵢ) dxᵢ
여기서 dxᵢ는 변수 xᵢ의 작은 변화량을 의미한다.
==성질==
*전미분은 함수의 국소적 선형 근사를 제공한다.
*전미분이 존재한다면, 그 함수는 각 변수에 대해 연속적인 편미분을 갖는다.
*전미분은 다변수 함수의 그래프에서 접평면을 정의하는 데 활용된다.
==예시==
*f(x,y) = x²y라 하자.
**∂f/∂x = 2xy, ∂f/∂y = x²  
*따라서 전미분은 
**df = 2xy dx + x² dy  
==응용==
전미분은 다변수 함수 해석에서 매우 중요한 개념으로, 다음과 같은 분야에서 활용된다.
*물리학: 열역학의 상태 함수(에너지, 엔트로피 등) 변화율 계산
*경제학: 다변수 효용 함수나 생산 함수의 변화 분석
*최적화: 제약 조건이 있는 다변수 최적화 문제에서 라그랑주 승수법과 함께 사용
==같이 보기==
*[[미분]]
*[[편미분]]
*[[도함수]]
*[[합성 함수]]
*[[연쇄 법칙]]
==각주==
<references />
[[분류:수학]]
[[분류:미적분학]]