파스칼의 삼각형 편집하기

파스칼의 삼각형(Pascal’s Triangle)은 이항 계수(Binomial Coefficients)를 삼각형 형태로 배열한 구조로, 조합론과 이항 정리에서 중요한 역할을 한다.
==개요==
파스칼의 삼각형은 다음과 같은 규칙으로 구성된다.
*삼각형의 첫 번째 행은 1이다.
*각 행의 첫 번째와 마지막 원소는 1이다.
*내부의 각 숫자는 바로 위의 두 숫자의 합으로 결정된다.
*n번째 행의 r번째 원소는 이항 계수 C(n, r) = n! / (r!(n-r)!) 값과 동일하다.
==파스칼의 삼각형 구조==
파스칼의 삼각형을 처음 몇 개의 행까지 나열하면 다음과 같다.
{| class="wikitable"
|+파스칼의 삼각형
|-
!n!!r=0!!r=1!!r=2!!r=3!!r=4!!r=5
|-
|0||1|| || || || ||
|-
|1||1||1|| || || ||
|-
|2||1||2||1|| || ||
|-
|3||1||3||3||1|| ||
|-
|4||1||4||6||4||1||
|-
|5||1||5||10||10||5||1
|}
==파스칼의 삼각형과 이항 계수==
파스칼의 삼각형에서 각 원소는 이항 계수 C(n, r)과 같다.
*C(4,2) = 4! / (2!(4-2)!) = 6 → 파스칼의 삼각형에서 4번째 행, 2번째 열의 값과 동일.
또한, 파스칼의 삼각형은 이항 정리에서 계수로 사용된다.
*(a + b)<sup>4</sup> = C(4,0)a<sup>4</sup> + C(4,1)a<sup>3</sup>b + C(4,2)a<sup>2</sup>b<sup>2</sup> + C(4,3)a<sup>1</sup>b<sup>3</sup> + C(4,4)a<sup>0</sup>b<sup>4</sup>
*= 1a<sup>4</sup> + 4a<sup>3</sup>b + 6a<sup>2</sup>b<sup>2</sup> + 4ab<sup>3</sup> + 1b<sup>4</sup>
==파스칼의 삼각형의 성질==
파스칼의 삼각형은 여러 가지 중요한 수학적 성질을 가진다.
*'''이항 계수 성질'''
**C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)
**이 공식은 파스칼의 삼각형의 각 항이 위쪽 두 항의 합으로 구성됨을 설명.

*'''대칭성'''
**C(n, r) = C(n, n-r) → 삼각형이 좌우 대칭을 이룸.

*'''각 행의 합'''
**n번째 행의 모든 원소의 합은 2<sup>n</sup> 
**예: 1 + 2 + 1 = 4, 1 + 3 + 3 + 1 = 8

*'''피보나치 수열과의 관계'''
**대각선 원소들의 합이 [[피보나치 수열]]을 이룸
==파스칼의 삼각형의 응용==
파스칼의 삼각형은 다양한 분야에서 활용된다.
*'''이항 정리''' - 다항식 전개에서 계수 계산.
*'''조합론''' - 조합 수 계산에 사용.
*'''확률론''' - 이항 분포에서 활용.
*'''프랙탈 구조''' - 시에르핀스키 삼각형과 같은 패턴에서 발견됨.
==같이 보기==
*[[이항 정리]]
*[[조합 (수학)]]
*[[순열 (수학)]]
*[[이항 계수]]
[[분류:수학]]