피보나치 수열 편집하기

피보나치 수열(Fibonacci Sequence)은 각 항이 앞 두 항의 합으로 정의되는 수열로, 자연과 수학에서 중요한 역할을 한다.
==정의==
피보나치 수열은 다음과 같이 정의된다.
:F(0) = 0, F(1) = 1
:F(n) = F(n-1) + F(n-2)  (n ≥ 2)
즉, 첫 번째와 두 번째 항은 각각 0과 1이며, 이후의 항은 앞의 두 항을 더한 값으로 결정된다. 
==예시==
처음 몇 개의 피보나치 수는 다음과 같다.
:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
간혹 1로 시작하는 경우도 있다. 교과서나 책에 따라서 다를 수 있다. 1부터 시작하면 1, 1, 2, 3, 5, 8이 된다.

어차피 점화 관계에 따르면 동일한 수이다. 그리고 정말 간혹하다 1, 2, 3, 5, 8로 바로 나가는 경우도 있는데, 이 또한 큰 문제는 없다. 단 가장 일반적인 경우는 0, 1, 1, 2, 3, 5로 가는 수열이다. 

==성질==
*'''황금 비율과의 관계''' - 피보나치 수열의 연속된 항들의 비율은 황금 비율(약 1.618)로 수렴한다.
*'''점화식''' - 피보나치 수열은 F(n) = F(n-1) + F(n-2)라는 점화식을 따른다.
*'''Binet의 공식 (비네의 식)''' - 피보나치 수를 직접 계산하는 공식은 다음과 같다.
:F(n) = ( (1 + √5)<sup>n</sup> - (1 - √5)<sup>n</sup> ) / (2<sup>n</sup> * √5)
:= ( (n + √5)<sup>n</sup> - (n - √5)<sup>n</sup> ) / √5
*'''조합적 해석''' - 피보나치 수 F(n)은 1과 2의 블록으로 이루어진 n길이의 계단을 오르는 방법의 수와 같다.
==자연과의 연관성==
피보나치 수열은 자연에서도 발견된다.
*해바라기 씨앗 배열, 솔방울의 나선 구조
*달팽이 껍데기, 은하의 나선형 형태
*나뭇가지 분기 패턴
==예제 코드==
피보나치 수열을 구하는 간단한 Python 코드:<syntaxhighlight lang="python">
def fibonacci(n):
    a, b = 0, 1
    for _ in range(n):
        a, b = b, a + b
    return a

for i in range(10):
    print(fibonacci(i), end=' ')
</syntaxhighlight>출력 결과:
:0 1 1 2 3 5 8 13 21 34
==활용==
*'''컴퓨터 알고리즘''' - 동적 계획법(DP)과 분할 정복 기법에서 활용
*'''금융 분석''' - 피보나치 되돌림(Fibonacci Retracement) 기법으로 주가 분석
*'''그래픽 및 디자인''' - 황금 비율을 활용한 레이아웃 구성
==같이 보기==
*[[황금 비율]]
*[[점화식]]
*[[수열]]
*[[프랙탈 기하학]]
==참고 문헌==
*Fibonacci, L. (1202). ''Liber Abaci''.
*Koshy, T. (2001). ''Fibonacci and Lucas Numbers with Applications''. Wiley.
[[분류:수학]]