익명 사용자
로그인하지 않음
토론
기여
계정 만들기
로그인
IT 위키
검색
Fibonacci Sequence
편집하기
IT 위키
이름공간
문서
토론
더 보기
더 보기
문서 행위
읽기
편집
원본 편집
역사
경고:
로그인하지 않았습니다. 편집을 하면 IP 주소가 공개되게 됩니다.
로그인
하거나
계정을 생성하면
편집자가 사용자 이름으로 기록되고, 다른 장점도 있습니다.
스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지
마세요
!
'''Fibonacci Sequence''' is a mathematical sequence where each number is the sum of the two preceding numbers. It is widely used in mathematics, computer science, and nature to model growth patterns and recursive structures. ==Definition== The Fibonacci sequence is defined recursively as: *F(0) = 0, F(1) = 1 (Base cases) *F(n) = F(n-1) + F(n-2) for n ≥ 2 ==Example Sequence== The first few Fibonacci numbers are: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... ==Closed-Form Formula (Binet's Formula)== The nth Fibonacci number can be computed directly using Binet’s formula: *F(n) = (φⁿ - ψⁿ) / √5 where: *φ = (1 + √5) / 2 (Golden Ratio) *ψ = (1 - √5) / 2 ==Properties== *'''Recurrence Relation:''' Each term is the sum of the previous two. *'''Golden Ratio Connection:''' The ratio of consecutive Fibonacci numbers converges to φ. *'''Parity Pattern:''' Even numbers appear at every third position. *'''Sum of Fibonacci Numbers:''' The sum of the first n Fibonacci numbers is F(n+2) - 1. ==Computational Methods== There are several ways to compute Fibonacci numbers: *'''Recursive Approach:''' **Uses the recurrence relation directly. **Complexity: O(2ⁿ) (Exponential, inefficient for large n). *'''Iterative Approach:''' **Uses a loop to compute Fibonacci numbers. **Complexity: O(n) (Linear, more efficient than recursion). *'''Matrix Exponentiation:''' **Uses matrix multiplication to compute Fibonacci numbers efficiently. **Complexity: O(log n). *'''Binet’s Formula:''' **Uses the closed-form expression. **Complexity: O(1), but limited by floating-point precision. ==Applications== Fibonacci numbers appear in various fields: *'''Computer Science:''' Recursive algorithm analysis, dynamic programming. *'''Mathematics:''' Number theory, combinatorial counting. *'''Nature:''' Leaf arrangements, branching patterns in plants. *'''Financial Markets:''' Fibonacci retracement in technical analysis. *'''Art and Architecture:''' Proportions related to the golden ratio. ==Comparison of Computational Methods== {| class="wikitable" !Method!!Approach!!Complexity |- |Recursion||Direct recursive relation||O(2ⁿ) |- |Iteration||Loop-based calculation||O(n) |- |Matrix Exponentiation||Fast exponentiation of Fibonacci matrix||O(log n) |- |Binet’s Formula||Direct computation using golden ratio||O(1) |} ==See Also== *[[Recurrence Relation]] *[[Golden Ratio]] *[[Dynamic Programming]] *[[Algorithm Complexity]] *[[Lucas Numbers]] *[[Pascal’s Triangle]] [[Category:Algorithm]]
요약:
IT 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-비영리-동일조건변경허락 라이선스로 배포된다는 점을 유의해 주세요(자세한 내용에 대해서는
IT 위키:저작권
문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요.
또한, 직접 작성했거나 퍼블릭 도메인과 같은 자유 문서에서 가져왔다는 것을 보증해야 합니다.
저작권이 있는 내용을 허가 없이 저장하지 마세요!
취소
편집 도움말
(새 창에서 열림)
둘러보기
둘러보기
대문
최근 바뀜
광고
위키 도구
위키 도구
특수 문서 목록
문서 도구
문서 도구
사용자 문서 도구
더 보기
여기를 가리키는 문서
가리키는 글의 최근 바뀜
문서 정보
문서 기록