단위 행렬: 두 판 사이의 차이
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(새 문서: 단위 행렬(영어: identity matrix, 일명 단위원행렬)은 정사각 행렬 중 대각 성분이 모두 1이고 나머지 성분이 모두 0인 행렬이다. ==정의== 단위 행렬은 n×n 크기의 행렬로, 대각선 성분은 모두 1이고 그 외 성분은 모두 0으로 정의된다. ==기호와 표기== *보통 I 또는 Iₙ으로 표기하며, 문맥상 크기가 명확하면 단순히 I로 쓰기도 한다. <ref>“Identity matrix”, Encyclopedia of Mathemati...) |
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단위 행렬(영어: identity matrix, 일명 단위원행렬)은 정사각 행렬 중 대각 성분이 모두 1이고 나머지 성분이 모두 0인 행렬이다.
정의[편집 | 원본 편집]
단위 행렬은 n×n 크기의 행렬로, 대각선 성분은 모두 1이고 그 외 성분은 모두 0으로 정의된다.
기호와 표기[편집 | 원본 편집]
- 보통 I 또는 Iₙ으로 표기하며, 문맥상 크기가 명확하면 단순히 I로 쓰기도 한다. [1]
- 대각 성분만이 비제로인 대각 행렬(diagonal matrix)의 특수한 형태이다. [2]
성질[편집 | 원본 편집]
단위 행렬은 다음과 같은 성질을 가진다.
항등원 성질
- 임의의 m×n 행렬 A에 대해 Iₘ·A = A, A·Iₙ = A 가 성립한다.
역원
- 단위 행렬은 자기 자신의 역행렬이다. 즉 Iₙ⁻¹ = Iₙ 이다.
멱등성
- 단위 행렬을 제곱해도 자기 자신이 된다. (Iₙ·Iₙ = Iₙ)
고유값과 랭크
- 고유값은 모두 1이고, 랭크(rank)는 n이다.
행렬식과 트레이스
- 행렬식(determinant)은 1, 궤적(trace)은 n이다.
예시[편집 | 원본 편집]
1×1 단위 행렬
| 1 |
2×2 단위 행렬
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
3×3 단위 행렬
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
응용 및 중요성[편집 | 원본 편집]
단위 행렬은 선형대수학에서 기본적인 개념이며,
- 선형 변환에서 항등 변환(identity transformation)을 나타낸다.
- 역행렬의 정의와 성질을 기술할 때 기준점이 된다.
- 행렬 대수, 군론 등에서 항등원 개념을 일반화한 형태로 사용된다.
같이 보기[편집 | 원본 편집]
참고 문헌[편집 | 원본 편집]
- Anton, H., & Rorres, C. (2010). *Elementary Linear Algebra*. Wiley.
- Lang, S. (1987). *Linear Algebra*. Springer.
- Encyclopedia of Mathematics, "Identity matrix"
