등비수열

geometric sequence(progression); 等比數列

등비수열이란, 2,4,8,16,32,⋯처럼 연속한 두 항의 비가 일정한 수열을 말한다.

• 기하적 증가 양상 때문에 기하수열이라고도 한다.

일반적 용어 및 표현

• 초항(初項): 첫번째 항, 일반적으로 a로 표현
• 공비(公比, common ratio): 연속한 두 항의 비, 일반적으로 r로 표현

일반항

등비수열의 일반항이란 등비수열인 수열이 있을 때 특정 열에(제n항) 대한 값을 바로 산출하기 위한 공식을 말한다.

수열 {an​}이 공비가 r인 등비수열이면 임의의 자연수 k에 대하여 다음이 성립한다.

a_k+1 / a_k = r

이에 따라 등비수열 {an​}의 일반항은 다음과 같다.

a_n = ar^n-1 (이 때. a≠0,r≠0)

등비수열의 합

등비수열의 합 S_n의 공식은 다음과 같다

S_n = a(1 - rⁿ) / (1 - r)

S_n = a(rⁿ - 1) / (r - 1)

(이 때, r≠1)

한편, 위 공식에 r=1을 대입하면 분모와 분자가 모두 0이 되어 버린다. 이 경우에는 등비수열의 모든 항이 첫째 항과 같다는 점을 이용하여 등비수열의 합을 구한다.

S_n ​= an (단, r=1인 경우만)

같이 보기

• 수열
• 등차수열