역원
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역원(inverse element, 逆元)은 어떤 이항 연산에 대해 항등원을 기준으로 연산의 결과가 항등원이 되도록 하는 원소를 의미한다.
정의[편집 | 원본 편집]
집합 G와 그 위의 이항 연산 *가 주어졌을 때, 항등원 e에 대해 원소 a ∈ G가 존재하면, a의 역원 a⁻¹은 다음 조건을 만족하는 G의 원소이다.
- a * a⁻¹ = e
- a⁻¹ * a = e
이러한 조건을 만족하는 a⁻¹이 존재할 경우, a는 가역원이라 하며, 연산 *에 대해 a의 역원이 존재한다고 한다.
예시[편집 | 원본 편집]
- 덧셈에 대한 역원: 정수 집합 Z에서 항등원은 0이며, 어떤 정수 a에 대해 그 역원은 -a이다. 즉, a + (-a) = 0.
- 곱셈에 대한 역원: 유리수 집합 Q \ {0}에서 항등원은 1이며, 어떤 유리수 a ≠ 0에 대해 그 역원은 1/a이다. 즉, a × (1/a) = 1.
- 행렬의 역원: 정방행렬 A가 가역일 경우, 역행렬 A⁻¹이 존재하며, AA⁻¹ = A⁻¹A = I를 만족한다. 여기서 I는 항등행렬이다.
성질[편집 | 원본 편집]
- 역원은 항등원에 대해 정의되므로, 항등원이 존재하지 않는 연산에서는 역원을 정의할 수 없다.
- 역원이 존재하면 반드시 유일하다. 즉, a * b = e이고 b * a = e이면, b는 유일한 a의 역원이다.
- 군(group)의 정의 중 하나는 모든 원소가 역원을 가지는 집합이라는 점이다.
관련 구조[편집 | 원본 편집]
역원의 개념은 군론을 포함한 대수적 구조에서 핵심적인 역할을 한다. 다음은 역원이 정의되는 대표적인 대수 구조이다.
- 군: 모든 원소가 역원을 가지는 집합
- 환: 덧셈에 대한 역원은 존재하지만 곱셈에 대한 역원은 일반적으로 존재하지 않음
- 체: 덧셈과 곱셈에 대한 역원이 모두 존재하며, 0을 제외한 모든 원소는 곱셈에 대한 역원을 가짐
같이 보기[편집 | 원본 편집]
참고 문헌[편집 | 원본 편집]
- Herstein, I.N. (1975). Topics in Algebra. Wiley.
- Hungerford, T.W. (1974). Algebra. Springer-Verlag.
