단위 행렬

단위 행렬(영어: identity matrix, 일명 단위원행렬)은 정사각 행렬 중 대각 성분이 모두 1이고 나머지 성분이 모두 0인 행렬이다.

정의

단위 행렬은 n×n 크기의 행렬로, 대각선 성분은 모두 1이고 그 외 성분은 모두 0으로 정의된다.

기호와 표기

• 보통 I 또는 Iₙ으로 표기하며, 문맥상 크기가 명확하면 단순히 I로 쓰기도 한다.
• 대각 성분만이 비제로인 대각 행렬(diagonal matrix)의 특수한 형태이다.

성질

단위 행렬은 다음과 같은 성질을 가진다.

항등원 성질

• 임의의 m×n 행렬 A에 대해 Iₘ·A = A, A·Iₙ = A 가 성립한다.

역원

• 단위 행렬은 자기 자신의 역행렬이다. 즉 Iₙ⁻¹ = Iₙ 이다.

멱등성

• 단위 행렬을 제곱해도 자기 자신이 된다. (Iₙ·Iₙ = Iₙ)

고유값과 랭크

• 고유값은 모두 1이고, 랭크(rank)는 n이다.

행렬식과 트레이스

• 행렬식(determinant)은 1, 궤적(trace)은 n이다.

예시

1×1 단위 행렬

1

2×2 단위 행렬

1	0
0	1

3×3 단위 행렬

1	0	0
0	1	0
0	0	1

응용 및 중요성

단위 행렬은 선형대수학에서 기본적인 개념이며,

• 선형 변환에서 항등 변환(identity transformation)을 나타낸다.
• 역행렬의 정의와 성질을 기술할 때 기준점이 된다.
• 행렬 대수, 군론 등에서 항등원 개념을 일반화한 형태로 사용된다.

같이 보기

• 역행렬
• 대각 행렬
• 정사각 행렬
• 항등원 (수학)

참고 문헌

• Anton, H., & Rorres, C. (2010). *Elementary Linear Algebra*. Wiley.
• Lang, S. (1987). *Linear Algebra*. Springer.
• Encyclopedia of Mathematics, "Identity matrix"