유한체 (수학)
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유한체(有限體, finite field)는 원소의 개수가 유한한 체(field)이다. 모든 체 중에서 유한한 크기를 가진 특별한 경우로, 갈루아 체(Galois Field)라고도 불리며, GF(q)로 표기된다. 여기서 q는 체의 원소 개수를 나타낸다.
정의[편집 | 원본 편집]
유한체는 다음 조건을 만족하는 대수 구조이다.
- 유한한 개수의 원소를 가진다. (즉, 집합의 크기가 유한하다.)
- 체의 정의를 만족한다:
- 덧셈에 대해 아벨 군을 이룸
- 0을 제외한 원소 집합은 곱셈에 대해 아벨 군을 이룸
- 분배법칙이 성립함: a * (b + c) = a * b + a * c
특징[편집 | 원본 편집]
- 유한체 GF(q)는 반드시 q = p^n 꼴이며, 여기서
- p는 소수(prime)
- n은 양의 정수
- GF(p)는 정수 집합 Z를 p로 나눈 나머지로 구성된 체이며, 덧셈과 곱셈은 mod p 연산으로 정의된다.
- GF(p^n)은 n차 다항식의 몫환 구조를 사용하여 구성된다.
예시[편집 | 원본 편집]
- GF(2): 원소 {0, 1}, 덧셈과 곱셈은 mod 2
- GF(3): 원소 {0, 1, 2}, 덧셈과 곱셈은 mod 3
- GF(4): 원소 4개, GF(2)[x]에서 x^2 + x + 1 같은 기약 다항식을 사용해 구성
- GF(8): GF(2^3), 원소는 다항식의 동치류로 표현됨
덧셈표와 곱셈표 (GF(2) 기준)[편집 | 원본 편집]
| + | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
| * | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
활용[편집 | 원본 편집]
- 오류 정정 코드 (Reed-Solomon, BCH, Hamming 등)
- 암호학 (AES, ECC 등)
- 선형대수학 및 다항식 연산
- 컴퓨터 과학의 해싱, 비트 연산 기반 알고리즘
같이 보기[편집 | 원본 편집]
참고 문헌[편집 | 원본 편집]
- Lidl, R., & Niederreiter, H. (1997). Finite Fields. Cambridge University Press.
- Dummit, D. S., & Foote, R. M. (2004). Abstract Algebra. Wiley.
