환 (수학)

환(環, ring)은 두 개의 이항 연산(덧셈과 곱셈)이 정의되어 있는 대수 구조로, 정수의 성질을 일반화한 개념이다. 환은 군, 체 등의 개념과 함께 추상대수학에서 기본적인 구조로 다루어진다.

정의

집합 R에 대해 다음 조건을 만족하면 (R, +, *)는 환(ring)이라고 한다.

1. (R, +)는 아벨 군

• 덧셈 + 에 대해 닫힘성, 결합법칙이 성립한다.
• 0이라는 항등원이 존재하고, 각 원소 a에 대해 -a라는 역원이 존재한다.
• 교환법칙 a + b = b + a 가 성립한다.

2. 곱셈 *에 대해 다음이 성립

• 곱셈에 대해 닫힘성: a * b ∈ R
• 곱셈에 대해 결합법칙: (a * b) * c = a * (b * c)
• 분배법칙: a * (b + c) = a * b + a * c, (a + b) * c = a * c + b * c

※ 곱셈에 대한 항등원(1)이나 역원(a⁻¹)은 환의 정의에 포함되지 않는다. 이 조건이 추가되면 다른 구조(예: 유리수의 체)가 된다.

환의 종류

• 단위원 환 (unit ring)

곱셈 항등원 1이 존재하는 환. 예: 정수 Z

• 환이지만 곱셈 항등원이 없는 구조

예: 2×2 영행렬의 집합

• 곱셈이 가환인 환 (가환환, commutative ring)

a * b = b * a 가 모든 a, b에 대해 성립

• 체(field)

가환환 + 모든 0이 아닌 원소가 곱셈 역원을 가질 때

• 나눗셈환(division ring)

곱셈 역원은 존재하지만 곱셈이 가환이 아닐 수도 있음 (예: 쿼터니언)

예시

• 정수의 집합 Z: 가환 단위원 환
• 유리수, 실수, 복소수: 모두 체이며 따라서 환
• 행렬의 집합 M(n, R): 일반적으로 환이지만 체는 아님 (역원이 항상 존재하지 않음)
• 다항식의 집합 R[x]: 계수가 R에 속하는 모든 다항식들의 집합 → 가환환

환과 관련된 개념

• 이상(ideal)

환의 부분집합으로, 나눗셈 연산 없이 나머지 구조를 정의할 수 있게 해주는 개념

• 동치류와 몫환

이상을 기준으로 환을 나누어 만든 새로운 환

• 동형사상

환 사이의 구조를 보존하는 함수

• 체

덧셈과 곱셈 모두에서 항등원과 역원이 존재하는 더 강한 구조

같이 보기

• 군 (수학)
• 체 (수학)
• 대수 구조
• 이상 (수학)
• 동형사상

참고 문헌

• Hungerford, T. W. (1974). Algebra. Springer.
• Dummit, D. S., & Foote, R. M. (2004). Abstract Algebra. Wiley.