군 (수학)

군(群, group)은 하나의 이항 연산이 정의된 집합으로, 그 연산이 일정한 성질을 만족하는 대수 구조이다. 수학의 여러 분야에서 널리 사용되며, 추상대수학의 가장 기본적인 구조이다.

정의

집합 G와 이항 연산 * 가 다음 네 가지 조건을 만족하면, (G, *)를 군(group)이라고 한다.

1. 닫힘성

• 모든 a, b ∈ G에 대해 a * b ∈ G

2. 결합법칙

• (a * b) * c = a * (b * c) for all a, b, c ∈ G

3. 항등원 존재

• G에 어떤 원소 e가 존재하여, 모든 a ∈ G에 대해 e * a = a * e = a

4. 역원 존재

• 모든 a ∈ G에 대해 a의 역원 a⁻¹ ∈ G가 존재하여, a * a⁻¹ = a⁻¹ * a = e

※ 위 네 조건을 모두 만족하면 군이다. ※ 만약 a * b = b * a가 모든 a, b ∈ G에 대해 성립하면, 가환군(Abelian group)이라 한다.

예시

• 정수의 집합 Z, 연산은 덧셈 (+)
  • 항등원: 0, 역원: -a, 가환군

• 정수 Z에서 0 제외하고 곱셈 연산: 군 아님 (역원 존재하지 않음)

• 실수 집합 R \ {0}, 연산은 곱셈 (*)
  • 항등원: 1, 역원: 1/a, 가환군

• 2×2 가역행렬의 집합 (GL(2, R)), 연산은 행렬 곱셈
  • 비가환군 (곱셈이 교환법칙을 만족하지 않음)

군의 종류

• 가환군 (Abelian group): 교환법칙 a * b = b * a가 성립
• 유한군 (finite group): 원소 수가 유한한 군
• 순환군 (cyclic group): 어떤 원소의 거듭제곱으로 모든 원소를 생성할 수 있는 군
• 대칭군 (symmetric group): n개의 원소에 대한 모든 순열로 구성된 군
• 행렬군 (matrix group): 행렬을 원소로 갖고, 행렬 곱셈으로 연산하는 군

군의 활용

• 정수론, 수론
• 기하학과 대칭성 표현
• 암호학 및 정보 보안 (예: 타원 곡선 암호)
• 양자역학, 물리학의 대칭 이론
• 화학의 분자 대칭 분석

같이 보기

• 가환군
• 순환군
• 환 (수학)
• 체 (수학)
• 군론
• 동형사상

참고 문헌

• Dummit, D. S., & Foote, R. M. (2004). Abstract Algebra. Wiley.
• Rotman, J. J. (1995). An Introduction to the Theory of Groups. Springer.