다차원 척도법

다차원척도법(MDS, Multidimensional Scaling)은 여러 대상 간의 거리 또는 비유사도 관계를 최대한 보존하도록 대상들을 저차원 실수 공간의 점으로 배치하는 차원 축소 기법이다.

다차원 척도법이라고도 하며, 정답 레이블 없이 대상 간 상대적 구조를 탐색하는 비지도 학습 기법으로 사용한다. 핵심 입력이 대상 간 거리·비유사도 행렬이라는 점에서 원자료의 변수값 행렬을 사용하는 주성분 분석과 구별된다. 다만 구현에 따라 원자료를 입력받아 내부에서 거리 행렬을 계산하기도 한다.

개념

• n개 대상에 대한 n×n 거리·비유사도 행렬을 바탕으로 분석한다.
• 저차원 공간에 n개의 점을 배치하고, 점 사이 거리가 입력 관계를 가능한 한 잘 반영하도록 좌표를 찾는다.
• 시각화에는 보통 2~3차원을 사용하지만, 분석 목적에 따라 더 높은 차원을 선택할 수 있다.
• 결과를 산점도로 표현하면 대상 간 상대적 유사성과 전체 배치 구조를 살펴볼 수 있다.

비유사도는 값이 작을수록 두 대상이 비슷함을 뜻한다. 값이 클수록 비슷한 유사도 자료는 분석 목적에 맞게 비유사도로 변환해야 한다. 비유사도는 반드시 삼각 부등식 등 수학적 거리의 모든 성질을 만족할 필요는 없다.

개별 변수값을 알지 못해도 “A와 B는 얼마나 비슷한가”와 같은 대상 간 평가가 있으면 분석할 수 있다. 브랜드 포지셔닝이나 소비자 인식 조사에서 이러한 장점을 활용한다. 선호도 조사에서는 단순 선호 점수와 대상 간 유사성 평가를 구분하고, MDS에 사용할 비유사도가 어떻게 만들어졌는지 명확히 해야 한다.

종류

계량적 MDS

계량적 MDS(Metric MDS)는 비유사도의 수치적 크기를 반영하는 배치를 구한다. 구간척도·비율척도로 해석할 수 있는 비유사도 자료에 사용하며, 선택한 모형에 따라 허용하는 변환이 달라진다.

• 절대 계량적 MDS: 입력 비유사도를 그대로 목표 거리로 삼아 점 사이 거리와의 차이를 줄인다.
• 스트레스 기반 방식: 목표 거리와 배치된 점 사이 거리의 차이를 나타내는 스트레스를 반복 최적화한다.

고전적 MDS

고전적 MDS(Classical MDS)는 넓은 의미에서 계량적 MDS에 포함되며, 주좌표 분석(PCoA, Principal Coordinates Analysis)이라고도 한다. 거리제곱 행렬을 이중 중심화한 뒤 고유값 분해로 좌표를 구하므로, 스트레스 기반 반복 최적화와 계산 원리가 다르다.

• 같은 원자료에서 계산한 유클리드 거리에 고전적 MDS를 적용하면, 같은 차원의 PCA 점수와 회전·반사 등을 제외하고 동일한 거리 배치를 얻을 수 있다.
• 이 관계는 모든 거리 척도나 모든 MDS 방식에 적용되는 것은 아니다.
• 의미 있는 음의 고유값이 나타나면 입력 비유사도를 유클리드 공간의 거리로 정확히 표현하기 어려움을 시사한다. 수치 오차로 생긴 작은 음의 값과 구분해야 한다.

비계량적 MDS

비계량적 MDS(Nonmetric MDS, NMDS)는 비유사도의 정확한 크기보다 순서·순위를 보존하는 데 초점을 둔다.

• 비유사도에 단조 변환을 적용하고, 변환된 값과 점 사이 거리가 가까워지도록 배치한다.
• 비유사도의 순서가 의미 있는 서열척도 자료에 적합하다.
• 설문에서 얻은 대상 간 유사성·비유사성 평가에 활용할 수 있다.
• 순위 보존은 최적화 목표이며, 모든 대상 쌍의 순서가 완벽하게 보존되는 것은 아니다.

명목척도 자료라는 이유만으로 비계량적 MDS를 바로 적용할 수 있는 것은 아니다. 범주형 원자료를 사용하려면 먼저 대상 간 비유사도를 정의해야 하며, 그 비유사도의 순서가 분석 목적에 적합한지 검토해야 한다.

분석 절차

1. 비유사도 정의: 분석 목적에 맞는 거리·비유사도 척도를 선택하거나, 설문으로 대상 간 평가를 수집한다.
2. 전처리: 변수의 단위와 범위가 크게 다르면 표준화를 검토한다. 비유사도 계산 방식과 전처리는 결과에 영향을 준다.
3. 행렬 확인: 일반적인 분석에서는 대칭이고 대각 원소가 0인 비유사도 행렬을 사용한다. 결측값 처리 가능 여부는 구현을 확인한다.
4. 방법과 차원 선택: 수치적 크기를 반영할지 순서를 반영할지 결정하고 출력 차원을 정한다.
5. 좌표 계산: 고전적 MDS는 고유값 분해를, 스트레스 기반 MDS는 반복 최적화를 사용한다.
6. 적합도와 안정성 확인: 스트레스, 셰퍼드 도표, 여러 초기 배치의 결과를 함께 검토한다.

차원 수는 시각화의 편의성과 적합도를 함께 고려해 선택한다. 차원별 스트레스를 그린 스크리 도표에서 개선 폭이 작아지는 지점을 참고할 수 있다.

적합도: 스트레스 값

스트레스(Stress)는 목표로 삼은 비유사도 관계와 배치된 점 사이 거리 관계가 얼마나 어긋나는지를 나타낸다. 같은 자료와 평가 조건에서는 0에 가까울수록 잘 재현한 것이다.

대표적인 원시 스트레스는 다음과 같다.

$S=\sum _{i<j}{({\hat{\delta }}_{ij}-d_{ij})}^2$

• $d_{ij}$: 저차원 공간에서 대상 i와 j 사이의 거리
• ${\hat{\delta }}_{ij}$: 적합에 사용하는 목표값. 절대 계량적 MDS에서는 입력 비유사도이며, 비계량적 MDS에서는 단조 변환된 비유사도이다.

정규화 스트레스인 Kruskal의 Stress-1은 다음과 같은 형태로 계산한다.

$\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\text{-}\mathrm{1}=\sqrt{\frac{\sum _{i<j}({\hat{\delta }}_{ij}-d_{ij}{)}^2}{\sum _{i<j}{d}_{ij}^2}}$

다음은 scikit-learn 공식 문서가 제시하는 Stress-1의 대표적인 해석 수준이다. 구간 전체에 일률적으로 적용하는 절대적 합격 기준으로 보아서는 안 된다.

Stress-1 값	적합도 해석
0	완벽한 적합
0.025	매우 좋음
0.05	좋음
0.10	보통
0.20	나쁨

원시 스트레스와 정규화 스트레스에 같은 수치 기준을 적용하면 안 된다. 프로그램이나 설정에 따라 보고하는 지표가 다르므로, 계산식과 정규화 여부를 먼저 확인해야 한다.

셰퍼드 도표(Shepard plot)는 입력 비유사도와 배치된 점 사이 거리를 비교하는 그래프이다. 비계량적 MDS에서는 단조 변환된 비유사도도 함께 표시하여 적합 상태와 거리 왜곡을 살펴볼 수 있다.

다른 차원 축소·다변량 기법과의 비교

기법	주요 입력	목적
주성분 분석 (PCA, Principal Component Analysis)	원자료의 변수값 행렬	분산을 최대한 보존하는 선형 축을 찾아 차원 축소
다차원척도법 (MDS, Multidimensional Scaling)	대상 간 거리·비유사도 행렬	대상 간 관계를 반영하는 저차원 배치
요인 분석 (FA, Factor Analysis)	변수값 행렬 또는 변수 간 상관·공분산 행렬	관측 변수의 공통 변동을 설명하는 잠재 요인 추정
정준 상관분석 (CCA, Canonical Correlation Analysis)	같은 관측 대상에 대한 두 변수 집합	두 집합의 선형결합 사이 상관이 최대가 되는 방향 탐색

PCA와 MDS의 관계는 사용한 거리와 MDS 방식에 따라 달라진다. 요인 분석은 잠재 요인을 통한 관측 변수 설명에, 정준 상관분석은 두 변수 집합의 관계 분석에 초점을 둔다.

활용

• 브랜드 포지셔닝: 소비자가 평가한 브랜드 간 유사성·비유사성을 지각도로 표현한다.
• 인식·설문 분석: 제품이나 개념 사이의 주관적 관계를 탐색한다.
• 고차원 자료 시각화: 여러 변수로 설명되는 관측값을 저차원에 배치한다.
• 거리 기반 좌표 복원: 대상 간 거리만 주어진 자료에서 위치를 복원하거나 근사한다.

예를 들어 A와 B는 비슷하고 C는 둘과 다르다는 평가가 있다면, A와 B를 가깝게, C를 상대적으로 멀게 배치하려 한다. 다만 그림에서 점들이 모여 보인다는 사실만으로 군집을 확정할 수는 없으며, 필요하면 군집 분석을 함께 수행한다.

해석과 한계

• 좌표축의 의미: 축이 자동으로 가격·품질 등의 의미를 갖지는 않는다. 대상의 특성이나 외부 변수와 비교하여 해석한다.
• 배치 방향: 평행이동·회전·반사는 점 사이 거리를 바꾸지 않는다. 그림의 방향이 달라도 동일한 거리 구조일 수 있다.
• 저차원 표현의 왜곡: 복잡한 관계를 2차원이나 3차원에 모두 담기는 어렵다. 산점도와 적합도를 함께 확인해야 한다.
• 초기값 의존성: 반복 최적화는 국소 최솟값에 머물 수 있다. 여러 초기 배치로 실행하여 적합도와 결과의 안정성을 검토한다.
• 비유사도 선택의 영향: 거리 척도와 변수 표준화에 따라 결과가 달라질 수 있다.
• 자료 규모: 모든 대상 쌍을 저장하는 밀집 비유사도 행렬은 n²개 원소가 필요하므로 대상 수가 커질수록 메모리 부담이 증가한다.

같이 보기

• 차원 축소
• 주성분 분석
• 군집 분석
• 유클리드 거리