연쇄 법칙

연쇄 법칙(連鎖法則, 영어: chain rule)은 미적분학에서 합성 함수의 도함수를 구하는 공식이다. 두 함수의 합성으로 이루어진 함수가 있을 때, 그 도함수는 각 함수의 도함수를 곱한 형태로 나타낼 수 있다.

개요

연쇄 법칙은 "합성 함수의 미분은 내부 함수의 도함수와 외부 함수의 도함수의 곱"이라는 개념을 바탕으로 한다. 함수가 여러 단계로 연결되어 있을 때, 각 단계에서의 변화율을 곱하여 전체 변화율을 구하는 방식이다.

공식

함수 y=f(u), u=g(x)일 때 합성 함수 y=f(g(x))의 도함수는 다음과 같이 주어진다.

dy/dx = (dy/du)·(du/dx)

보다 일반적으로, h(x)=f(g(x))라 하면

h'(x) = f'(g(x))·g'(x)

예시

• 함수 h(x)=(3x²+1)⁵를 미분하면,

외부 함수 f(u)=u⁵, 내부 함수 g(x)=3x²+1로 볼 수 있다. 따라서

h'(x)=5(3x²+1)⁴·6x = 30x(3x²+1)⁴

응용

연쇄 법칙은 물리학, 공학, 경제학 등 다양한 분야에서 널리 사용된다.

• 물리학: 위치, 속도, 가속도의 관계에서 시간 변수 변환 시 사용된다.
• 경제학: 여러 단계의 함수적 의존 관계가 있는 모형에서 미분을 단순화하는 데 활용된다.
• 다변수 함수: 편미분과 전미분을 다루는 과정에서도 연쇄 법칙이 중요한 역할을 한다.

같이 보기

• 미분
• 합성 함수
• 도함수
• 편미분
• 전미분