퍼지 집합
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퍼지 집합(Fuzzy Set)은 원소가 집합에 속하는 정도를 0과 1 사이의 실수인 소속도로 나타내어, 경계가 모호한 개념을 다룰 수 있게 한 집합이다.
보통의 집합(크리스프 집합, Crisp Set)에서 원소는 집합에 속하거나(1) 속하지 않거나(0) 둘 중 하나다. "키가 큰 사람", "따뜻한 온도"처럼 경계가 분명하지 않은 개념은 이렇게 나눌 수 없다. 1965년 자데(L. A. Zadeh)는 원소마다 소속 함수(Membership Function) μA(x) ∈ [0, 1] 를 주어 얼마나 속하는지를 나타내는 퍼지 집합을 제안했다. 퍼지 집합은 퍼지 논리, 퍼지 추론, 퍼지 제어(가전·자동차·산업 제어)의 기초다.
전체 집합 X 위의 퍼지 집합 A 는 원소와 소속도의 쌍으로 나타낸다.
- 이산형: A = Σ μA(x)/x = μA(x1)/x1 + μA(x2)/x2 + … ('/' 는 나눗셈이 아니라 "소속도/원소" 의 구분 기호, '+' 는 합집합 나열)
- 집합 표기: A = {(x, μA(x)) | x ∈ X} 또는 A = {1.0/1, 0.2/2, …}
- 연속형: A = ∫ μA(x)/x
- 삼각형(Triangular), 사다리꼴(Trapezoidal), 가우시안(Gaussian), 종형(Bell), 시그모이드(Sigmoid)
| 용어 | 정의 |
|---|---|
| 지지집합(Support) | μA(x) > 0}. 소속도가 0보다 큰 원소의 (크리스프) 집합 |
| 핵(Core) | μA(x) = 1}. 소속도가 1인 원소의 집합 |
| 높이(Height) | hgt(A) = sup μA(x). 소속도의 최댓값 |
| 정규(Normal) 퍼지 집합 | 높이가 1인 퍼지 집합. 높이가 1보다 작으면 준정규(Subnormal) |
| α-절단(α-cut) | μA(x) ≥ α}. 강 α-절단(Strong α-cut)은 '>' 로 정의 |
| 농도(Cardinality) | A| = Σ μA(x). 모든 원소의 소속도의 합 (스칼라 농도, Sigma Count) |
| 상대 농도(Relative Cardinality) | A| / |X|. 농도를 전체 집합의 원소 수로 나눈 값 |
| 볼록(Convex) 퍼지 집합 | 모든 α-절단이 볼록 집합인 퍼지 집합. 퍼지 수(Fuzzy Number)는 정규이면서 볼록인 퍼지 집합 |
X = {1, 2, 3, 4, 5} 에서 A = {1.0/1, 0.2/2, 0.5/3, 0/4, 0.2/5} 일 때
- Supp(A) = {1, 2, 3, 5} — 소속도가 0인 4 는 빠진다. 소속도가 작더라도(0.2) 0보다 크면 들어간다.
- Core(A) = {1}, hgt(A) = 1.0 이므로 정규 퍼지 집합이다.
- A0.5 = {1, 3}, A0.2 = {1, 2, 3, 5}
- 농도 |A| = 1.0 + 0.2 + 0.5 + 0 + 0.2 = 1.9
- 상대 농도 ‖A‖ = 1.9 / 5 = 0.38
자데가 정의한 표준 연산은 다음과 같다.
| 연산 | 정의 | 위 A 와 B = {0.3/1, 0.6/2, 0.5/3, 1.0/4, 0/5} 의 결과 |
|---|---|---|
| 합집합 A ∪ B | max(μA, μB) | {1.0/1, 0.6/2, 0.5/3, 1.0/4, 0.2/5} |
| 교집합 A ∩ B | min(μA, μB) | {0.3/1, 0.2/2, 0.5/3, 0/4, 0/5} |
| 여집합 Ac | 1 − μA | {0/1, 0.8/2, 0.5/3, 1.0/4, 0.8/5} |
| 포함 A ⊆ B | 모든 x 에서 μA(x) ≤ μB(x) |
- 교집합·합집합은 min·max 대신 대수곱(a·b)·대수합(a+b−ab) 같은 다른 T-노름 / S-노름으로 정의하기도 한다.
- 퍼지 집합에서는 배중률과 모순율이 성립하지 않는다. 위 예에서 A ∪ Ac 의 원소 3의 소속도는 0.5 로 1이 아니고, A ∩ Ac 도 공집합이 아니다. 크리스프 집합과 가장 크게 다른 점이다.
- 교환·결합·분배 법칙, 드모르간 법칙, 멱등 법칙은 성립한다.
| 구분 | 크리스프 집합 | 퍼지 집합 |
|---|---|---|
| 소속 정도 | 0 또는 1 (특성 함수) | 0~1 사이 실수 (소속 함수) |
| 경계 | 명확 | 점진적 |
| 배중률 A ∪ Ac = X | 성립 | 성립하지 않음 |
| 논리 | 2치 논리 | 다치(연속값) 논리 |
퍼지 집합으로 표현한 IF-THEN 규칙으로 추론하는 방식이다.
- 퍼지화(Fuzzification) — 입력값을 소속 함수에 넣어 소속도로 바꾼다.
- 규칙 평가 — "IF 온도가 높다 AND 습도가 높다 THEN 냉방을 강하게" 같은 규칙의 조건부 소속도를 min 등으로 결합한다.
- 결과 합성 — 여러 규칙의 결론 퍼지 집합을 max 등으로 합친다(맘다니 방식).
- 비퍼지화(Defuzzification) — 무게중심법(Center of Gravity) 등으로 하나의 출력값을 얻는다.
- 전문가 시스템
- 기호 기반 인공지능
- 퍼지 해시 — 이름만 같고 유사도 해시 기법이다