기댓값의 선형성

기댓값의 선형성(linearity of expectation)은 여러 확률 변수의 선형 결합의 기댓값이 각 변수의 기댓값의 선형 결합과 같다는 성질을 말한다. 이 성질은 확률 변수들이 서로 독립일 필요 없이 항상 성립한다는 점에서 매우 강력하고 널리 사용된다.

1 정의

확률 변수 X, Y에 대해 다음이 항상 성립한다:

P(X와 Y는 어떤 관계든 가능)

E[X + Y] = E[X] + E[Y]

보다 일반적으로, 확률 변수 X₁, X₂, ..., Xₙ과 실수 계수 a₁, a₂, ..., aₙ에 대해:

E[a₁X₁ + a₂X₂ + ... + aₙXₙ] = a₁E[X₁] + a₂E[X₂] + ... + aₙE[Xₙ]

이 수식에서

• E[⋅]는 기댓값을 나타내며,
• 확률 변수에 상수를 곱하면 기댓값도 그 상수만큼 곱해지고,
• 여러 개를 더하면 기댓값도 각각 더해진다는 의미다.

2 특징

• 독립성 불필요: 확률 변수들 사이에 아무런 독립 조건이 없어도 항상 성립한다.
• 상수 계수 포함 가능: 변수에 실수 상수를 곱한 선형 결합도 포함된다.
• 분산과는 다르다: 분산은 독립일 때만 더해지지만, 기댓값은 항상 선형성을 가진다.

3 예시

• 주사위 두 개의 눈의 합의 기댓값

• X: 첫 번째 주사위 눈
• Y: 두 번째 주사위 눈
• 각 주사위의 기댓값 E[X] = E[Y] = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3.5
• 두 눈의 합의 기댓값은
  • E[X + Y] = E[X] + E[Y] = 3.5 + 3.5 = 7

• 동전 10개 던지기
  • 각 동전에 대해 확률 변수 Xᵢ를 정의: 앞면이면 1, 뒷면이면 0
  • E[Xᵢ] = 1 × 0.5 + 0 × 0.5 = 0.5
  • 전체 앞면 개수: S = X₁ + X₂ + ... + X₁₀
  • E[S] = E[X₁ + X₂ + ... + X₁₀] = E[X₁] + E[X₂] + ... + E[X₁₀] = 10 × 0.5 = 5

4 활용

• 복잡한 확률 문제를 단순화할 수 있다.
• 확률 변수 간 관계를 몰라도 전체 기대값을 구할 수 있다.
• 알고리즘 기대 수행 시간 분석, 보험료 산정, 통계 모델링 등에서 핵심적으로 쓰인다.

5 같이 보기

• 기댓값
• 분산
• 확률 변수
• 독립 사건
• 선형 결합

6 참고 문헌

• Ross, S. (2014). A First Course in Probability. Pearson
• Grimmett, G. R., & Stirzaker, D. R. (2001). Probability and Random Processes. Oxford University Press