누적 분포 함수
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누적 분포 함수(cumulative distribution function, 累積分布函數)는 어떤 일이 일어날 확률이 누적되어 계산되는 함수이다.
1 정의[편집 | 원본 편집]
누적 분포 함수는 어떤 값 x까지 확률이 얼마나 되는지를 알려주는 함수이다. 즉, 확률변수 X가 x보다 작거나 같을 확률, P(X ≤ x)를 나타낸다.
2 쉬운 설명[편집 | 원본 편집]
누적 분포 함수는 여러 개의 확률을 하나씩 더해 가며 특정 값 이하일 확률을 계산하는 도구이다. 예를 들어, 시험 점수의 누적 분포 함수 F(80)가 0.85라면, 전체 응시자 중 85%가 80점 이하를 받았다는 뜻이다.
3 이산형과 연속형[편집 | 원본 편집]
- 이산 확률변수: 정해진 값들만 가능한 경우 (예: 주사위 눈)
- 예: F(4) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4)
- 연속 확률변수: 모든 실수 값을 가질 수 있는 경우 (예: 키, 몸무게)
- 예: F(170) = 키가 170cm 이하일 확률
4 성질[편집 | 원본 편집]
- 누적 분포 함수의 값은 항상 0 이상 1 이하이다
- x가 증가할수록 F(x)도 증가하거나 유지된다 (감소하지 않음)
- x가 무한히 작아지면 F(x)는 0에 수렴하고, 무한히 커지면 F(x)는 1에 수렴한다
5 실제 사례: L.L.Bean 케이스[편집 | 원본 편집]
의류업체 L.L.Bean은 시즌 상품의 재고를 결정할 때 수요의 불확실성을 고려해야 했다. 이들은 특정 사이즈의 재킷에 대해 수요가 평균 500벌, 표준편차 100벌인 정규분포를 따른다고 분석했다.
예를 들어, 고객 수요의 95%를 만족시키고자 할 경우, 누적 확률 0.95에 해당하는 Z값은 약 1.645이다. 이를 이용하면 다음과 같이 주문 수량을 결정할 수 있다:
- 평균 수요: 500벌
- 표준편차: 100벌
- 누적 확률 0.95에 해당하는 Z값: 1.645
- 주문 수량 = 평균 + Z값 × 표준편차
- 주문 수량 = 500 + 1.645 × 100 = 664.5 → 약 665벌
즉, L.L.Bean은 M 사이즈 재킷을 약 665벌 주문함으로써 95% 확률로 수요를 충족할 수 있게 된다. 이처럼 누적 분포 함수는 수요 예측을 수치적으로 판단하고 재고 전략을 결정하는 데 핵심적인 도구로 사용된다.
6 활용[편집 | 원본 편집]
- 시험 성적의 백분위 계산
- 공정 품질관리에서 허용 오차율 판단
- 재고관리 및 수요예측 (예: 신문판매인 모형)
- 통계적 가설검정에서 p값 계산
- 무작위 샘플 생성 시 분포 기반 값 추출
7 같이 보기[편집 | 원본 편집]
8 참고 문헌[편집 | 원본 편집]
- Simchi-Levi, D., Kaminsky, P., & Simchi-Levi, E. (2003). *Designing and Managing the Supply Chain*. McGraw-Hill Education.
- Ross, S. M. (2014). *Introduction to Probability Models*. Academic Press.
