이항 계수 편집하기

이항 계수(Binomial Coefficient)는 [[조합 (수학)|조합(Combination)]]에서 n개의 원소 중 r개를 선택하는 방법의 수를 나타내며, 수학적으로 C(n, r) 또는 (n choose r)로 표현된다. 이항 계수는 이항 정리와 파스칼의 삼각형에서 중요한 역할을 한다.
==개요==
이항 계수 C(n, r)은 다음과 같이 정의된다.
*C(n, r) = nCr = n! / (r!(n - r)!)
여기서,
*'''n!''' = n × (n-1) × ... × 1 (계승, Factorial)
*'''r!''' = r × (r-1) × ... × 1
*'''(n - r)!''' = (n - r) × (n - r - 1) × ... × 1
이항 계수는 조합의 개수를 나타내며, 이는 조합론과 이항 정리에서 중요한 역할을 한다.
==이항 계수의 예제==
몇 가지 예제 값을 계산해보자.
*C(5, 2) = 5! / (2!(5-2)!) = (5 × 4) / (2 × 1) = 10
*C(6, 3) = 6! / (3!(6-3)!) = (6 × 5 × 4) / (3 × 2 × 1) = 20
*C(4, 2) = 4! / (2!(4-2)!) = (4 × 3) / (2 × 1) = 6
이러한 값들은 파스칼의 삼각형에서도 확인할 수 있다.
{| class="wikitable"
|+이항 계수의 예제
|-
!n!!r=0!!r=1!!r=2!!r=3!!r=4!!r=5
|-
|0||1|| || || || ||
|-
|1||1||1|| || || ||
|-
|2||1||2||1|| || ||
|-
|3||1||3||3||1|| ||
|-
|4||1||4||6||4||1||
|-
|5||1||5||10||10||5||1
|}
==이항 계수의 성질==
*'''이항 계수의 기본 성질'''
**C(n, 0) = C(n, n) = 1
**C(n, 1) = C(n, n-1) = n
**C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r) (파스칼의 항등식)

*'''대칭성'''
**C(n, r) = C(n, n-r) (예: C(5,2) = C(5,3))

*'''이항 정리에서의 역할'''
**(a + b)<sup>n</sup> = Σ C(n, r) a<sup>n-r</sup> b<sup>r</sup>

*'''각 행의 합'''
**Σ C(n, r) = 2<sup>n</sup>
==이항 계수의 응용==
이항 계수는 다양한 분야에서 활용된다.
*'''이항 정리''' - 다항식 전개에서 계수 계산.
*'''[[조합론]]''' - 조합 개수 계산.
*'''확률론''' - 이항 분포에서 활용.
*'''[[알고리즘]]''' - 동적 프로그래밍과 그래프 이론에서 활용.
==같이 보기==
*[[이항 정리]]
*[[파스칼의 삼각형]]
*[[조합 (수학)]]
*[[순열 (수학)]]