팩토리얼 편집하기

팩토리얼(Factorial)은 양의 정수 n에 대해 1부터 n까지의 모든 정수를 곱한 값을 의미하며, 기호 '''n!'''로 표기된다. 이는 조합론, 이항 계수, 확률 이론, 수열 분석 등 다양한 수학적 개념에서 활용된다.
==정의==
팩토리얼은 다음과 같이 정의된다.
*n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1  (n ≥ 1)
*0! = 1 (빈 곱의 값은 1로 정의됨)
예를 들어,
*1! = 1
*2! = 2 × 1 = 2
*3! = 3 × 2 × 1 = 6
*4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
*5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
==팩토리얼의 성질==
*'''재귀적 정의'''
**n! = n × (n-1)! (n ≥ 1)
**예: 5! = 5 × 4!

*'''0!의 정의'''
**0! = 1로 정의됨 (수학적 일관성을 유지하기 위해)

*'''팩토리얼의 빠른 증가'''
**팩토리얼은 매우 빠르게 증가하는 함수이며, 큰 값에서 [[스털링 근사]]를 사용하여 근사적으로 계산 가능.
**예: 10! = 3,628,800, 20! ≈ 2.43 × 10<sup>18</sup>

*'''이항 계수와의 관계'''
**조합의 공식에서 등장: C(n, r) = n! / (r!(n - r)!)
==스털링 근사==
팩토리얼은 큰 수에서 빠르게 증가하므로, 근사적으로 계산할 때 스털링 근사(Sterling’s Approximation)를 사용할 수 있다.
*n! ≈ √(2πn) × (n/e)<sup>n</sup>
이 근사는 확률론 및 통계학에서 널리 사용된다.
==팩토리얼의 응용==
팩토리얼은 다양한 수학적, 과학적 개념에서 활용된다.
*'''조합론'''
**순열: P(n, r) = n! / (n-r)!
**조합: C(n, r) = n! / (r!(n-r)!)

*'''확률론'''
**경우의 수 계산 (예: 순열, 조합)

*'''테일러 급수'''
**e<sup>x</sup> = Σ (x<sup>n</sup> / n!)

*'''정보 이론'''
**엔트로피 계산과 데이터 압축
==같이 보기==
*[[조합 (수학)]]
*[[순열 (수학)]]
*[[이항 계수]]
*[[스털링 근사]]