공분산 편집하기

공분산(共分散, covariance)은 두 확률 변수 간의 선형 관계를 나타내는 통계량이다. 공분산은 두 변수의 편차 곱의 평균으로 정의되며, 양의 값을 가지면 두 변수는 대체로 같은 방향으로 변화하고, 음의 값을 가지면 반대 방향으로 변화한다.
==정의==
두 확률 변수 X와 Y에 대해, 공분산은 다음과 같이 정의된다.
*모집단 공분산: Cov(X, Y) = E[(X - μ<sub>X</sub>)(Y - μ<sub>Y</sub>)]
*표본 공분산: S<sub>XY</sub> = (1 / (n - 1)) ∑<sub>i=1</sub><sup>n</sup> (x<sub>i</sub> - x̄)(y<sub>i</sub> - ȳ)
여기서 E는 기대값, μ<sub>X</sub>와 μ<sub>Y</sub>는 각각 X와 Y의 기대값, x̄와 ȳ는 표본 평균이다.
==성질==
*Cov(X, Y) > 0: X와 Y가 정적인 상관 관계를 가진다.
*Cov(X, Y) < 0: X와 Y가 부적인 상관 관계를 가진다.
*Cov(X, Y) = 0: X와 Y 사이에 선형 상관 관계가 없다. 그러나 이는 독립성을 의미하지는 않는다.
*Cov(X, X) = Var(X): 자기 자신과의 공분산은 분산과 같다.
*상수 a, b에 대해 Cov(aX + b, Y) = a × Cov(X, Y)이다.
==계산 예시==
어떤 두 변수 X = [1, 2, 3], Y = [4, 5, 6]의 표본 공분산은 다음과 같이 계산된다.
*x̄ = 2, ȳ = 5
*(1−2)(4−5) + (2−2)(5−5) + (3−2)(6−5) = 1 + 0 + 1 = 2
*공분산 = 2 / (3−1) = 1
==공분산과 상관 계수==
공분산은 단위에 따라 값의 크기가 달라지므로 비교가 어렵다. 이를 보완하기 위해 두 변수의 표준편차로 나누어 정규화한 값이 상관 계수(correlation coefficient)이다.
*Corr(X, Y) = Cov(X, Y) / (σ<sub>X</sub> × σ<sub>Y</sub>)
==공분산 행렬==
다변량 데이터에서는 여러 변수 간의 공분산을 행렬로 표현할 수 있다. 이를 공분산 행렬(covariance matrix)이라고 하며, 대칭 행렬의 성질을 가진다.
==활용==
*통계학과 데이터 과학에서 변수 간의 관계 파악
*주성분 분석(PCA)에서 데이터 분산 방향 파악
*금융 분야에서 포트폴리오 이론 및 리스크 분석
==같이 보기==
*[[상관 계수]]
*[[분산]]
*[[주성분 분석]]
*[[확률 변수]]
*[[통계학]]
==참고 문헌==
*Casella, G., & Berger, R. L. (2002). ''Statistical Inference'' (2nd ed.). Duxbury.
*Wasserman, L. (2004). ''All of Statistics: A Concise Course in Statistical Inference''. Springer.
==각주==
[[분류:수학]]
[[분류:통계학]]