합성 함수 편집하기

합성 함수(合成函數, 영어: composite function)는 두 개 이상의 함수를 연결하여 만든 함수이다. 하나의 함수의 출력값을 다른 함수의 입력값으로 사용하는 방식으로 정의된다.
==정의==
두 함수 f, g가 있을 때, g의 정의역에 속하는 x에 대하여 g(x)가 f의 정의역에 속하면 합성 함수 f∘g를 정의할 수 있다.
:(f∘g)(x) = f(g(x))
즉, x에 대해 먼저 g(x)를 적용하고, 그 결과를 f에 대입하여 값을 계산한다.
==성질==
*합성 함수는 결합법칙을 따른다. 즉, f∘(g∘h) = (f∘g)∘h이다.
*일반적으로 f∘g와 g∘f는 같지 않다. 즉, 함수 합성은 교환법칙이 성립하지 않는다.
*항등 함수 id(x)=x를 기준으로 f∘id = id∘f = f가 성립한다.
==예시==
결합 법칙

* f(x) = x + 1, g(x) = 2x, h(x) = x² 이라 하면
** 먼저 '''f∘(g∘h)'''를 계산해보면:
*** g∘h(x) = g(h(x)) = g(x²) = 2x²
*** f∘(g∘h)(x) = f(2x²) = 2x² + 1
** 이번엔 (f∘g)∘h를 계산해보면:
*** f∘g(x) = f(g(x)) = f(2x) = 2x + 1
*** (f∘g)∘h(x) = (2h(x) + 1) = 2x² + 1
* 즉 결과가 동일하다.

'''교환법칙'''
*f(x)=x², g(x)=x+1이라 하면
**(f∘g)(x)=f(g(x))=(x+1)²
**(g∘f)(x)=g(f(x))=x²+1
*이처럼 두 합성 함수는 일반적으로 다르다.
==미분과의 관계==
합성 함수는 미적분학에서 중요한 역할을 한다. 특히, 합성 함수의 도함수를 구할 때는 연쇄 법칙이 적용된다.
:(f∘g)'(x) = f'(g(x))·g'(x)
==응용==
합성 함수는 수학적 모델링, 공학적 시스템 분석, 컴퓨터 과학의 알고리즘 설계 등에서 널리 활용된다.
*물리학: 여러 변수를 순차적으로 연결하는 함수 관계 표현
*경제학: 복잡한 함수적 의존 관계 단순화
*프로그래밍: 함수형 프로그래밍에서 함수 합성을 이용한 모듈화
==같이 보기==
*[[도함수]]
*[[미분]]
*[[연쇄 법칙]]
*[[함수]]
*[[편미분]]
==각주==
<references />
[[분류:수학]]