전치 행렬 편집하기

전치 행렬(轉置行列, transpose matrix)은 주어진 행렬의 행(row)과 열(column)을 서로 바꾼 행렬이다. 주어진 행렬 A의 전치(transpose)는 보통 A<sup>⊤</sup>로 표기된다.
==정의==
행렬 A가 m×n 크기일 때, 전치 행렬 A<sup>⊤</sup>는 n×m 크기를 가지며 각 성분은 다음과 같이 정의된다:
*(A<sup>⊤</sup>)<sub>ij</sub> = A<sub>ji</sub>
예:  A =  {  1 2 3  4 5 6  }  → A<sup>⊤</sup> =  {  1 4  2 5  3 6  }
==성질==
전치 행렬은 다음과 같은 수학적 성질을 갖는다:
*(A<sup>⊤</sup>)<sup>⊤</sup> = A
*(A + B)<sup>⊤</sup> = A<sup>⊤</sup> + B<sup>⊤</sup>
*(cA)<sup>⊤</sup> = cA<sup>⊤</sup> (c는 스칼라)
*(AB)<sup>⊤</sup> = B<sup>⊤</sup> A<sup>⊤</sup>
*A = A<sup>⊤</sup>이면 A는 대칭 행렬이다.
*A<sup>⊤</sup> = -A이면 A는 반대칭 행렬이다.
*det(A<sup>⊤</sup>) = det(A)
==응용==
전치 행렬은 순수 수학뿐 아니라 공학, 컴퓨터과학, 인공지능 분야에서 다양하게 활용된다.
*회귀 분석: 선형 회귀의 정규 방정식 A<sup>⊤</sup>A x = A<sup>⊤</sup>b에서 전치 행렬이 사용된다.
*내적 및 유사도 계산: 벡터 x에 대해 x<sup>⊤</sup>x는 자기 자신과의 내적을 의미하며, 유사도 분석에 활용된다.
*딥러닝:
**[[역전파|역전파(backpropagation)]] 알고리즘에서 오차 전파 시 가중치 행렬의 전치가 필수적이다. 
**입력 벡터 또는 배치 데이터의 구조를 전환(transpose)하여 연산 효율을 높인다.  
**공분산 행렬 계산 시, 데이터 행렬 X를 전치하여 X<sup>⊤</sup>X 형태로 사용한다.  
**Transformer 계열 모델에서 multi-head attention의 쿼리, 키, 값 행렬 간 연산에서도 전치가 빈번히 등장한다.  
==주의 사항==
*비정방형 행렬의 전치는 행과 열의 크기를 변경하므로 연산 가능 여부를 확인해야 한다.
*복소수 행렬의 경우, 단순 전치가 아닌 켤레 전치(conjugate transpose)가 사용되는 경우가 많다.
==같이 보기==
*[[행렬]]
*[[대칭 행렬]]
*[[반대칭 행렬]]
*[[켤레 전치 행렬]]
*[[내적]]
==참고 문헌==
*Gilbert Strang, ''Linear Algebra and Its Applications''
*David C. Lay, ''Linear Algebra and Its Applications'' (4th Edition)
==각주==
[[분류:수학]]
[[분류:선형대수]]