대수 (수학) 편집하기

'''대수'''(代數, algebra)는 수와 기호를 이용하여 수학적인 구조, 관계, 연산을 표현하고 다루는 수학의 한 분야이다. 초등 수준의 문자 대수에서부터, 집합과 연산을 기반으로 한 추상대수학에 이르기까지 다양한 형태로 발전해 왔다.
==개요==
대수는 수학적 대상을 기호로 표현하고, 그 연산 규칙을 정의함으로써 일반적인 수학 문제를 체계적으로 다루는 방법론이다. 전통적인 방정식 풀이에서 출발했지만, 현대에는 군, 환, 체와 같은 추상적인 구조를 연구하는 **추상대수학**(abstract algebra)으로 확장되었다.
==주요 분류==
===1. 기본 대수 (elementary algebra)===
*문자(x, y 등)를 사용하여 수의 일반적인 성질을 표현
*방정식, 부등식, 인수분해, 함수 등 다룸
*예: x² + 2x + 1 = 0 같은 다항방정식
===2. 선형대수학 (linear algebra)===
*벡터, 행렬, 선형변환 등 선형 구조를 연구
*공학, 컴퓨터과학, 자연과학에서 폭넓게 사용
*체 위의 벡터공간이 주요 대상
===3. 추상대수학 (abstract algebra)===
*집합과 이항 연산으로 정의된 대수 구조 연구
*주요 구조: 군(group), 환(ring), 체(field), 격자(lattice) 등
*구조 사이의 사상(동형사상 등)도 주요 연구 대상
===4. 대수적 구조 (algebraic structure)===
*연산이 정의된 집합과 그 성질을 연구
*예: (G, *)가 군이면, G는 집합이고 *는 G 위의 이항 연산
==역사==
*고대 바빌로니아 수학에서도 대수적인 사고가 있었다.
*아라비아 수학자 알콰리즈미가 대수학을 체계화했으며, 'al-jabr'(복원)이 algebra의 어원이다.
*19세기 이후 집합론과 논리를 바탕으로 추상화가 급속히 진전되었다.
==활용==
*방정식 풀이 및 수학적 문제 일반화
*알고리즘 및 컴퓨터 수학
*물리학, 공학, 경제학에서의 모델링
*암호학, 정보이론, 코딩 이론 등
==관련 개념==
*[[방정식]]
*[[군 (수학)]]
*[[환 (수학)]]
*[[체 (수학)]]
*[[선형대수학]]
*[[유한체]]
*[[대수적 구조]]
==참고 문헌==
*Artin, M. (2011). ''Algebra''. Pearson.
*Stewart, I. (2015). ''Galois Theory''. CRC Press.
*Herstein, I. N. (1975). ''Topics in Algebra''. Wiley.
[[분류:수학]]