대수 (수학)

대수(代數, algebra)는 수와 기호를 이용하여 수학적인 구조, 관계, 연산을 표현하고 다루는 수학의 한 분야이다. 초등 수준의 문자 대수에서부터, 집합과 연산을 기반으로 한 추상대수학에 이르기까지 다양한 형태로 발전해 왔다.

개요

대수는 수학적 대상을 기호로 표현하고, 그 연산 규칙을 정의함으로써 일반적인 수학 문제를 체계적으로 다루는 방법론이다. 전통적인 방정식 풀이에서 출발했지만, 현대에는 군, 환, 체와 같은 추상적인 구조를 연구하는 **추상대수학**(abstract algebra)으로 확장되었다.

주요 분류

1. 기본 대수 (elementary algebra)

• 문자(x, y 등)를 사용하여 수의 일반적인 성질을 표현
• 방정식, 부등식, 인수분해, 함수 등 다룸
• 예: x² + 2x + 1 = 0 같은 다항방정식

2. 선형대수학 (linear algebra)

• 벡터, 행렬, 선형변환 등 선형 구조를 연구
• 공학, 컴퓨터과학, 자연과학에서 폭넓게 사용
• 체 위의 벡터공간이 주요 대상

3. 추상대수학 (abstract algebra)

• 집합과 이항 연산으로 정의된 대수 구조 연구
• 주요 구조: 군(group), 환(ring), 체(field), 격자(lattice) 등
• 구조 사이의 사상(동형사상 등)도 주요 연구 대상

4. 대수적 구조 (algebraic structure)

• 연산이 정의된 집합과 그 성질을 연구
• 예: (G, *)가 군이면, G는 집합이고 *는 G 위의 이항 연산

역사

• 고대 바빌로니아 수학에서도 대수적인 사고가 있었다.
• 아라비아 수학자 알콰리즈미가 대수학을 체계화했으며, 'al-jabr'(복원)이 algebra의 어원이다.
• 19세기 이후 집합론과 논리를 바탕으로 추상화가 급속히 진전되었다.

활용

• 방정식 풀이 및 수학적 문제 일반화
• 알고리즘 및 컴퓨터 수학
• 물리학, 공학, 경제학에서의 모델링
• 암호학, 정보이론, 코딩 이론 등

관련 개념

• 방정식
• 군 (수학)
• 환 (수학)
• 체 (수학)
• 선형대수학
• 유한체
• 대수적 구조

참고 문헌

• Artin, M. (2011). Algebra. Pearson.
• Stewart, I. (2015). Galois Theory. CRC Press.
• Herstein, I. N. (1975). Topics in Algebra. Wiley.