삼각 분할

삼각 분할(Triangulation)은 다각형을 삼각형들의 집합으로 나누는 과정으로, 계산 기하학, 컴퓨터 그래픽스, 지형 모델링 등 다양한 분야에서 활용된다.

1 개요

삼각 분할은 다각형을 겹치지 않는 삼각형으로 분할하는 방법으로, 각 변이 기존의 다각형의 변이거나 다른 변과 교차하지 않는 방식으로 구성된다. 일반적으로 단순 다각형에 대해 삼각 분할을 수행하며, 특정 알고리즘을 통해 자동으로 삼각형 집합을 생성할 수 있다.

2 성질

• 모든 단순 다각형은 항상 삼각 분할이 가능하다.
• n각형의 삼각형 개수는 항상 (n-2)개이다.
• 삼각 분할은 유일하지 않다 - 동일한 다각형이라도 다양한 방법으로 삼각형으로 나눌 수 있다.
• 그래프 이론과의 관계 - 삼각 분할은 도형을 그래프로 변환하는 데 활용된다.

3 알고리즘

삼각 분할을 수행하는 대표적인 알고리즘은 다음과 같다.

• 귀퉁이 잘라내기(Ear Clipping) 알고리즘
  • 단순 다각형의 내부 삼각형을 하나씩 제거하는 방식
  • O(n²) 시간 복잡도를 가짐

• 분할 정복 알고리즘
  • 다각형을 작은 부분으로 나눈 후 병합하여 삼각 분할 수행
  • O(n log n) 시간 복잡도를 가짐

• 모노톤 다각형 분할
  • 다각형을 단조 다각형으로 나눈 후 삼각화하는 방식
  • O(n log n)에서 최적화하면 O(n) 시간 복잡도를 가짐

4 예제 코드

다음은 Python을 사용하여 귀퉁이 잘라내기(Ear Clipping) 알고리즘을 이용한 삼각 분할 예제이다.

from scipy.spatial import Delaunay
import numpy as np

def triangulate(points):
    tri = Delaunay(points)
    return tri.simplices

# 예제: 단순한 사각형을 삼각형으로 나누기
points = np.array([
    [0, 0], [1, 0], [1, 1], [0, 1]
])

triangles = triangulate(points)
print(triangles)

5 활용

• 컴퓨터 그래픽스 - 3D 모델링에서 메시(mesh) 생성에 사용
• 지형 모델링 - 지리정보시스템(GIS)에서 지형을 삼각형 기반으로 표현
• 물리 시뮬레이션 - 유한 요소법(FEM)에서 복잡한 도형을 삼각형 요소로 변환
• 로봇 경로 계획 - 환경을 삼각형으로 나누어 탐색 및 이동 경로 최적화

6 같이 보기

• 델로네 삼각분할
• 볼로노이 다이어그램
• 계산 기하학
• 유한 요소법

7 참고 문헌

• de Berg, M., Cheong, O., van Kreveld, M., & Overmars, M. (2008). Computational Geometry: Algorithms and Applications. Springer.
• Preparata, F. P., & Shamos, M. I. (1985). Computational Geometry: An Introduction. Springer.