항등원: 두 판 사이의 차이
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2025년 4월 24일 (목) 07:30 기준 최신판
항등원(identity element, 恒等元)은 어떤 이항 연산에 대해 임의의 원소와 연산을 하였을 때 그 원소 자체를 반환하는 특별한 원소이다.
정의[편집 | 원본 편집]
집합 G와 그 위의 이항 연산 *가 주어졌을 때, 원소 e ∈ G가 다음 조건을 만족하면 e를 항등원이라 한다.
- 임의의 a ∈ G에 대해, e * a = a이고 a * e = a
이러한 성질을 가지는 원소는 존재한다면 유일하다. 항등원은 연산에 따라 다르게 정의되며, 연산이 교환법칙을 만족하지 않아도 항등원은 정의될 수 있다.
예시[편집 | 원본 편집]
- 덧셈의 항등원: 정수 집합 Z에서 덧셈의 항등원은 0이다. 즉, 임의의 정수 a에 대해 0 + a = a이고, a + 0 = a이다.
- 곱셈의 항등원: 실수 집합 R에서 곱셈의 항등원은 1이다. 즉, 임의의 실수 a에 대해 1 × a = a이고, a × 1 = a이다.
- 행렬의 항등원: 정사각 행렬의 곱셈에서 항등원은 단위행렬(항등행렬) I이다. 어떤 n차 정방행렬 A에 대해 IA = A이고, AI = A이다.
성질[편집 | 원본 편집]
- 항등원은 존재한다면 유일하다. 즉, 두 개 이상의 서로 다른 항등원이 존재할 수 없다.
- 항등원이 존재하는 경우, 역원의 정의 및 군 구조를 정의할 수 있는 기반이 된다.
- 연산의 정의에 따라 항등원이 존재하지 않을 수도 있다.
관련 구조[편집 | 원본 편집]
- 항등원은 군, 환, 체, 모노이드 등 다양한 대수 구조의 정의에 필수적인 요소이다.
- 군에서는 모든 원소가 항등원과 역원을 가져야 한다.
- 모노이드는 항등원은 존재하지만 역원이 존재할 필요는 없다.
같이 보기[편집 | 원본 편집]
참고 문헌[편집 | 원본 편집]
- Herstein, I.N. (1975). Topics in Algebra. Wiley.
- Lang, S. (2002). Algebra. Springer.
