전미분: 두 판 사이의 차이
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2025년 9월 18일 (목) 05:36 기준 최신판
전미분(全微分, 영어: total derivative)은 다변수 함수의 모든 변수에 대한 미소 변화를 고려하여 함수 전체의 변화율을 나타내는 개념이다. 편미분이 한 변수만 변화시켜 계산하는 미분이라면, 전미분은 모든 독립 변수들의 변화를 동시에 반영한다.
개요[편집 | 원본 편집]
전미분은 다변수 함수 f(x₁, x₂, …, xₙ)의 입력값이 작은 변화(Δx₁, Δx₂, …, Δxₙ)를 가질 때, 함수 f의 출력값이 어떻게 변하는지를 근사적으로 나타낸다. 이는 편미분을 이용해 정의된다.
정의[편집 | 원본 편집]
함수 f(x, y)가 x와 y에 대해 미분 가능할 때, 전미분 df는 다음과 같이 정의된다.
- df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy
보다 일반적으로, f(x₁, x₂, …, xₙ)에 대해
- df = Σ (∂f/∂xᵢ) dxᵢ
여기서 dxᵢ는 변수 xᵢ의 작은 변화량을 의미한다.
성질[편집 | 원본 편집]
- 전미분은 함수의 국소적 선형 근사를 제공한다.
- 전미분이 존재한다면, 그 함수는 각 변수에 대해 연속적인 편미분을 갖는다.
- 전미분은 다변수 함수의 그래프에서 접평면을 정의하는 데 활용된다.
예시[편집 | 원본 편집]
- f(x,y) = x²y라 하자.
- ∂f/∂x = 2xy, ∂f/∂y = x²
- 따라서 전미분은
- df = 2xy dx + x² dy
응용[편집 | 원본 편집]
전미분은 다변수 함수 해석에서 매우 중요한 개념으로, 다음과 같은 분야에서 활용된다.
- 물리학: 열역학의 상태 함수(에너지, 엔트로피 등) 변화율 계산
- 경제학: 다변수 효용 함수나 생산 함수의 변화 분석
- 최적화: 제약 조건이 있는 다변수 최적화 문제에서 라그랑주 승수법과 함께 사용
