합성 함수

합성 함수(合成函數, 영어: composite function)는 두 개 이상의 함수를 연결하여 만든 함수이다. 하나의 함수의 출력값을 다른 함수의 입력값으로 사용하는 방식으로 정의된다.

정의

두 함수 f, g가 있을 때, g의 정의역에 속하는 x에 대하여 g(x)가 f의 정의역에 속하면 합성 함수 f∘g를 정의할 수 있다.

(f∘g)(x) = f(g(x))

즉, x에 대해 먼저 g(x)를 적용하고, 그 결과를 f에 대입하여 값을 계산한다.

성질

• 합성 함수는 결합법칙을 따른다. 즉, f∘(g∘h) = (f∘g)∘h이다.
• 일반적으로 f∘g와 g∘f는 같지 않다. 즉, 함수 합성은 교환법칙이 성립하지 않는다.
• 항등 함수 id(x)=x를 기준으로 f∘id = id∘f = f가 성립한다.

예시

결합 법칙

• f(x) = x + 1, g(x) = 2x, h(x) = x² 이라 하면
  • 먼저 f∘(g∘h)를 계산해보면:
    • g∘h(x) = g(h(x)) = g(x²) = 2x²
    • f∘(g∘h)(x) = f(2x²) = 2x² + 1
  • 이번엔 (f∘g)∘h를 계산해보면:
    • f∘g(x) = f(g(x)) = f(2x) = 2x + 1
    • (f∘g)∘h(x) = (2h(x) + 1) = 2x² + 1
• 즉 결과가 동일하다.

교환법칙

• f(x)=x², g(x)=x+1이라 하면
  • (f∘g)(x)=f(g(x))=(x+1)²
  • (g∘f)(x)=g(f(x))=x²+1
• 이처럼 두 합성 함수는 일반적으로 다르다.

미분과의 관계

합성 함수는 미적분학에서 중요한 역할을 한다. 특히, 합성 함수의 도함수를 구할 때는 연쇄 법칙이 적용된다.

(f∘g)'(x) = f'(g(x))·g'(x)

응용

합성 함수는 수학적 모델링, 공학적 시스템 분석, 컴퓨터 과학의 알고리즘 설계 등에서 널리 활용된다.

• 물리학: 여러 변수를 순차적으로 연결하는 함수 관계 표현
• 경제학: 복잡한 함수적 의존 관계 단순화
• 프로그래밍: 함수형 프로그래밍에서 함수 합성을 이용한 모듈화

같이 보기

• 도함수
• 미분
• 연쇄 법칙
• 함수
• 편미분