피보나치 수열

피보나치 수열(Fibonacci Sequence)은 각 항이 앞 두 항의 합으로 정의되는 수열로, 자연과 수학에서 중요한 역할을 한다.

1 정의

피보나치 수열은 다음과 같이 정의된다.

F(0) = 0, F(1) = 1

F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n ≥ 2)

즉, 첫 번째와 두 번째 항은 각각 0과 1이며, 이후의 항은 앞의 두 항을 더한 값으로 결정된다.

2 예시

처음 몇 개의 피보나치 수는 다음과 같다.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

3 성질

• 황금 비율과의 관계 - 피보나치 수열의 연속된 항들의 비율은 황금 비율(약 1.618)로 수렴한다.
• 점화식 - 피보나치 수열은 F(n) = F(n-1) + F(n-2)라는 점화식을 따른다.
• Binet의 공식 - 피보나치 수를 직접 계산하는 공식은 다음과 같다.

F(n) = ( (1 + sqrt(5))^n - (1 - sqrt(5))^n ) / (2^n * sqrt(5))

• 조합적 해석 - 피보나치 수 F(n)은 1과 2의 블록으로 이루어진 n길이의 계단을 오르는 방법의 수와 같다.

4 자연과의 연관성

피보나치 수열은 자연에서도 발견된다.

• 해바라기 씨앗 배열, 솔방울의 나선 구조
• 달팽이 껍데기, 은하의 나선형 형태
• 나뭇가지 분기 패턴

5 예제 코드

피보나치 수열을 구하는 간단한 Python 코드:

def fibonacci(n):
    a, b = 0, 1
    for _ in range(n):
        a, b = b, a + b
    return a

for i in range(10):
    print(fibonacci(i), end=' ')

출력 결과:

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34

6 활용

• 컴퓨터 알고리즘 - 동적 계획법(DP)과 분할 정복 기법에서 활용
• 금융 분석 - 피보나치 되돌림(Fibonacci Retracement) 기법으로 주가 분석
• 그래픽 및 디자인 - 황금 비율을 활용한 레이아웃 구성

7 같이 보기

• 황금 비율
• 점화식
• 수열
• 프랙탈 기하학

8 참고 문헌

• Fibonacci, L. (1202). Liber Abaci.
• Koshy, T. (2001). Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. Wiley.