체 (수학)

체(體, field)는 덧셈과 곱셈 두 연산이 정의되어 있으며, 이 연산들에 대해 대부분의 대수적 성질이 성립하는 대수 구조이다. 체는 실수, 유리수, 복소수 등의 수 체계를 추상화한 개념으로, 대수학, 수론, 암호학 등 다양한 분야에서 핵심적인 역할을 한다.

정의

집합 F에 대해 덧셈(+)과 곱셈(*) 두 연산이 다음 조건을 만족하면, (F, +, *)는 체(field)라 한다.

1. (F, +)는 아벨 군

• 덧셈에 대해 닫힘성: a + b ∈ F
• 결합법칙: (a + b) + c = a + (b + c)
• 항등원 0이 존재: a + 0 = a
• 역원 -a가 존재: a + (-a) = 0
• 교환법칙: a + b = b + a

2. (F \ {0}, *)는 아벨 군

• 곱셈에 대해 닫힘성: a * b ∈ F
• 결합법칙: (a * b) * c = a * (b * c)
• 항등원 1이 존재: a * 1 = a
• 곱셈 역원 a⁻¹ 존재 (단, a ≠ 0): a * a⁻¹ = 1
• 교환법칙: a * b = b * a

3. 분배법칙

• a * (b + c) = a * b + a * c

특징

• 체는 가환환(commutative ring)의 특수한 형태이다.
• 0이 아닌 모든 원소는 곱셈 역원을 가진다.
• 체 위에서는 나눗셈이 정의된다 (단, 0으로 나눌 수는 없음).
• 체에는 항상 덧셈 항등원(0)과 곱셈 항등원(1)이 존재하며, 0 ≠ 1이다.

예시

• 유리수 집합 Q: 가장 대표적인 체
• 실수 집합 R, 복소수 집합 C: 무한 체
• 유한체(Finite Field, Galois Field): 원소 개수가 유한한 체. 예: GF(2), GF(7)
• F_p (p는 소수): 정수 집합 Z를 p로 나눈 나머지들로 이루어진 체. 덧셈과 곱셈은 mod p 연산

체가 아닌 예시

• 정수 집합 Z: 곱셈 역원이 없으므로 체가 아님
• 행렬 집합 M(n, R): 곱셈이 가환이 아니며, 역원이 항상 존재하지 않음

활용

• 방정식 풀이와 대수방정식 이론
• 선형대수학: 체 위의 벡터 공간
• 암호학: 유한체 기반 알고리즘 (예: AES, ECC)
• 대수기하학, 갈루아 이론

같이 보기

• 환 (수학)
• 군 (수학)
• 유한체
• 갈루아 이론
• 선형대수학

참고 문헌

• Dummit, D. S., & Foote, R. M. (2004). Abstract Algebra. Wiley.
• Artin, M. (2011). Algebra. Pearson.