미적분학

미적분학(微積分學, 영어: calculus)은 함수의 극한을 바탕으로 변화율을 다루는 미분(differentiation)과 면적·누적량을 다루는 적분(integration)을 연구하는 수학의 한 분야이다. 자연 현상과 공학적 문제를 정량적으로 분석하는 데 널리 활용되며, 현대 수학의 기초적인 학문으로 자리 잡고 있다.

개요

미적분학은 17세기 아이작 뉴턴과 고트프리트 라이프니츠에 의해 체계적으로 발전되었다.

• 미분은 함수의 순간 변화율을 다루며, 도함수를 구하는 과정이다.
• 적분은 변화율로부터 면적이나 누적된 값을 구하는 과정이다.

두 개념은 서로 반대되는 성질을 가지며, 기본정리를 통해 밀접하게 연결된다.

주요 개념

• 극한: 함수의 값이 특정 값에 접근하는 과정을 다루는 개념으로, 미분과 적분의 기초를 이룬다.
• 미분: 함수의 변화율을 구하는 과정으로, 접선의 기울기를 나타낸다.
• 적분: 함수가 이루는 면적이나 총합을 구하는 과정으로, 곡선 아래 넓이를 구하는 문제에서 출발한다.
• 미적분학의 기본정리: 미분과 적분이 서로 역연산 관계임을 보여준다.

역사

• 고대 그리스 수학자 아르키메데스는 적분법의 기초가 되는 극한적 방법을 사용하였다.
• 17세기에 뉴턴은 미적분을 물리학적 문제(운동 법칙)에 적용하였고, 라이프니츠는 체계적인 기호를 도입하였다.
• 이후 오일러, 코시, 리만 등의 수학자들이 극한 개념과 해석학을 정교화하면서 현대적 미적분학으로 발전하였다.

응용

미적분학은 수학뿐만 아니라 과학과 공학 전반에 걸쳐 핵심적인 도구로 사용된다.

• 물리학: 속도, 가속도, 운동 방정식, 전자기학, 양자역학
• 공학: 회로 해석, 제어 이론, 신호 처리, 구조 해석
• 경제학: 최적화, 비용·수익 함수 분석
• 생명과학: 인구 성장 모형, 약물 확산 모델

같이 보기

• 미분
• 적분
• 도함수
• 편미분
• 연쇄 법칙